精品解析：上海市桃浦中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学测验卷

桃浦中学2024学年第一学期高一数学10月月考 测验卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，，，______． 【答案】 【解析】 【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解. 【详解】由题意得，， ∵ ∴， ∴. 故答案为：. 2. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___． 【答案】 【解析】 【分析】直接计算并集得到答案. 【详解】集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则. 故答案为：. 3. 用反证法证明“若，则a、b全为0（a、）”，第一步应假设为________． 【答案】a、b不全为0 【解析】 【分析】直接根据反证法的概念即可得结果. 【详解】将结论a、b全为0进行否定可得a、b不全为0， 即第一步应假设为a、b不全为0， 故答案为：a、b不全为0. 4. 满足条件的集合的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合包含的关系分析集合的元素的情况，从而将问题转化为求集合的非空子集的个数，由此得解. 【详解】因为， 所以集合必含有元素，且至少含有元素中的一个， 则集合的个数与集合的非空子集的个数一样， 所以集合的个数为. 故答案为：. 5. 设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是的充分条件求得的取值范围. 【详解】由于是的充分条件，所以. 故答案为：. 6. 已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为、，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可得答案． 【详解】方程的两根为和，则 ，，则． 故答案为：． 7. 已知集合，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数定义域、二次函数值域求解集合，根据交集定义求解. 【详解】由题意，，所以集合， 恒成立，所以集合， 所以. 故答案为： 8. 设集合，若，则____________. 【答案】或或 【解析】 【分析】易知，对集合是否为空集进行分类讨论，并利用集合间的包含关系即可求得的取值. 【详解】根据题意解方程可知； 当时，可得，满足； 当时，，若满足则需或； 解得或，经检验符合题意； 综上可知，或或； 故答案为：或或 9. 已知方程的两根分别为，，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理得，设出所求方程，利用韦达定理即可求出. 【详解】因为的两根分别为，，， 设满足条件的一元二次方程为， 则，则，， 故所求方程为. 故答案为：. 10. 共有名学生参加篮球､足球社团报名.已知有的学生报名参加了篮球社､的学生报名参加了足球社.两个社团都不参加的学生人数是都参加人数的一半多人.则两个社团都不参加的学生人数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得参加篮球社和足球社的人数，设两个社团都参加的人数为，利用总人数可构造方程求得，进而得到所求结果. 【详解】由题意得：参加篮球社的有人；参加足球社的有人； 设两个社团都参加的人数为，则两个社团都不参加的人数为， ，解得：，两个社团都不参加的人数为人. 故答案为：. 11. 已知，，，则下列命题哪些是正确的______． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 【答案】①②③⑥ 【解析】 【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案. 【详解】①，若，则，所以，所以①正确. ②，若，两边平方得，所以②正确. ③，当时，函数单调递减， 所以若，则，所以③正确. ④，若，，，，则可能，所以④错误. ⑤，若，，如，有，所以⑤错误. ⑥，已知且，所以， 由两边乘以正数，得，所以⑥正确. 故答案为：①②③⑥ 12. 定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身．已知集合，的所有非空子集依次记为，，…，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减，根据赋值法即可求解. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和，即展开式中所有项的系数之和减， 令，则展开式中的所有项的系数之和为， ∴. 故答案为：. 二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 关于x，y的方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用消元法求方程组的解集，注意为点集. 【详解】由，则， 所以方程组的解集为. 故选：C 14. 以下关系式错误的有几个（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集定义，元素与集合的关系，子集定义逐一判断即可. 【详解】对①，不含任何元素，所以，错误； 对②，是任何集合的子集，所以，正确； 对③，0是自然数，所以，正确； 对④，根据子集定义可知，任何集合都是它自己的子集，正确； 对⑤，的元素是，的元素是0，两集合不存在包含关系，错误. 故选：B 15. 定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A. 48 B. 54 C. 42 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 16. 已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合 ②：集合；：集合 ③：；： ④：桃浦中学高一全体学生：：桃浦中学全体学生 其中是的必要非充分条件的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义依次判断即可. 【详解】①若，若，此时，故充分性不成立；若，则，必要性成立，故是的必要不充分条件； ②若，根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则，必要性成立，故是的充要条件； ③，是的必要不充分条件； ④易得是的充分不必要条件. 所以是的必要非充分条件的有①③. 故选：D. 三、解答题（第17-19题各14分，第20题18分，第21题18分，共78分） 17. （1）证明：； （2）已知集合，若，求． 【答案】（1）， 因为， 所以，即. （2）0. 【解析】 【分析】（1）将目标式平方，利用作差法证明即可； （2）根据元素与集合的关系求出的值，然后检验可得. 【详解】（1）略 （2）若，则或或， 解得或或， 当时，，不满足互异性； 当时，，不满足互异性； 当时，，满足题意. 综上，. 18. （1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）当时，集合； 当时，集合. 【解析】 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 19. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明：假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2） 【解析】 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）略 （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 20. 已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. 【小问2详解】 因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 21. 若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. （1）试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； （2）设集合是“闭集”，求证：若，则； （3）若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由如下： ，，但， 所以集合不是“闭集”. （2） 依题意，集合是“闭集”， 所以. （3）真命题，理由如下： 依题意集合是一个“闭集”， 所以 若，则； 若，则； 若且，则， 所以. 所以命题“若，则”是真命题. 【解析】 【分析】（1）根据“闭集”的性质进行判断. （2）根据“闭集”的性质证得结论成立. （3）根据“闭集”的性质进行判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃浦中学2024学年第一学期高一数学10月月考 测验卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，，，______． 2. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___． 3. 用反证法证明“若，则a、b全为0（a、）”，第一步应假设为________． 4. 满足条件的集合的个数为______. 5. 设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 6. 已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为、，则___． 7. 已知集合，集合，则___________. 8. 设集合，若，则____________. 9. 已知方程的两根分别为，，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程___________. 10. 共有名学生参加篮球､足球社团报名.已知有的学生报名参加了篮球社､的学生报名参加了足球社.两个社团都不参加的学生人数是都参加人数的一半多人.则两个社团都不参加的学生人数是___________. 11. 已知，，，则下列命题哪些是正确的______． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 12. 定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身．已知集合，的所有非空子集依次记为，，…，，则______． 二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 关于x，y的方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 14. 以下关系式错误的有几个（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15. 定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A. 48 B. 54 C. 42 D. 36 16. 已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合 ②：集合；：集合 ③：；： ④：桃浦中学高一全体学生：：桃浦中学全体学生 其中是的必要非充分条件的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 三、解答题（第17-19题各14分，第20题18分，第21题18分，共78分） 17. （1）证明：； （2）已知集合，若，求． 18. （1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 19. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 20. 已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 21. 若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”. （1）试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； （2）设集合是“闭集”，求证：若，则； （3）若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $