北京市大峪中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

大峪中学2024—2025学年第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 （满分：150分；时间：120分钟；命题人：高二集备组；审核人：宋扬） 一、选择题（本大题共10.小题，每题4分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 5. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 6. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在空间四边形OABC中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，若G为正方形的中心，即（ ） A. 2 B. C. －1 D. 1 9. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 已知向量，若，则__________． 12. 已知直线与直线交于点，过点且与直线平行的直线方程为________，这两条平行直线间的距离为______. 13. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____. 14. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为______. 15. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．   ①若保持，则点在底面内运动路径的长度为 ②三棱锥体积的最大值为 ③若，则二面角的余弦值的最大值为 ④若则与所成角的余弦值的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： （1）直线的方程； （2）直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 17. 在①圆的一条对称轴为，②圆经过点，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.已知圆经过点且______. （1）求圆的方程； （2）在圆中，求以为中点的弦所在的直线方程. 18. 如图，在长方体中，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 19. 已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 20. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 21. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 大峪中学2024—2025学年第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 （满分：150分；时间：120分钟；命题人：高二集备组；审核人：宋扬） 一、选择题（本大题共10.小题，每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】-7 【12题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）选①或②，圆的方程为； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：设，连接， 在长方体中，底面为矩形，且， 所以，为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）证明：在矩形中，，则矩形为正方形，故， 在长方体，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 【20题答案】 【答案】（1）因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2） （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 【21题答案】 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $