精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.10 一、填空（3×12） 1. 复数满足，则___________. 2. 等比数列中，若，，则_____． 3. 已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） 4. 以下各项属于公理的是__________. ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ④平行于同一条直线的两条直线平行. ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 5. 设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和_________． 6. 水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 7. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 8. 空间四边形ABCD，AB=CD=8，M､N､P分别为BD､AC､BC的中点，若异面直线AB和CD所成的角为60°，则线段MN的长为___________. 9. 已知数列满足，则________． 10. 在中，，，则面积为__________. 11. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________. 12. 已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 二、选择（3*4） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一直线的两个平面平行 14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答（8+8+10+12+14） 17. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数k的值． 18. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 19. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体下半部分圆柱的体积； （2）如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 20. 如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知是等边三角形． （1）求证：； （2）求二面角； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角，并说明点此时所在的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.10 一、填空（3×12） 1. 复数满足，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据复数的除法求复数，再根据复数的概念分析求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：1. 2. 等比数列中，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案． 【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以， 故答案为：． 3. 已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的______条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） 【答案】既非充分也非必要 【解析】 【分析】通过正方体上的线的关系进行判断充分必要条件，由“a⊥b”得“a与b相交”则填充分条件；由“a与b相交”得“a⊥b”，则填必要条件，最后得出结果. 【详解】如图在正方体中，但与不相交，故“a⊥b”是“a与b相交”的非充分条件； 同理与相交，但与显然不垂直， 故与相交“a⊥b”是“a与b相交”的非必要条件， 所以“a⊥b”是“a与b相交”的既非充分又非必要条件， 故答案为：既非充分又非必要. 4. 以下各项属于公理的是__________. ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ④平行于同一条直线的两条直线平行. ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】直接根据公理的定义得到答案. 【详解】公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； 公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过公共点的公共直线； 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 故答案为：①②④. 5. 设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和_________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案. 【详解】和是方程的两根，则有， 等差数列中，. 故答案为：2026. 6. 水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的画法规则可知，，利用三角形面积求得，继而可得，从而在中，利用余弦定理求得答案． 【详解】由斜二测画法的画法规则可知在中，，， 则，即， 故由斜二测画法规则可得. 故答案为：． 7. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 8. 空间四边形ABCD，AB=CD=8，M､N､P分别为BD､AC､BC的中点，若异面直线AB和CD所成的角为60°，则线段MN的长为___________. 【答案】4或 【解析】 【分析】先根据异面直线和成的角，则或，然后利用余弦定理求出的长即可． 【详解】解：，、、分别为、、的中点，连接，， ，，，所以为异面直线和所成的角或补角， 因为异面直线和成的角，或 当时， 当时， 故答案为：4或 9. 已知数列满足，则________． 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】根据递推式，计算出、、，从而可得数列为周期数列，周期为3，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， ，……， 由此可得数列为周期数列，周期为3， 所以. 故答案为： 10. 在中，，，则面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合余弦定理推论可求得,进而求得,利用平面向量数量积的定义可求得的值,再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】在中因为， 所以由余弦定理的推论知,, 因为，所以, 因为，即,解得, 所以的面积. 故答案为: 【点睛】本题主要考查三角形的余弦定理和三角形的面积公式;其中余弦定理与平面向量数量积结合是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 11. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知画出在上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值. 【详解】由在一个周期上图象如图， 其最大值与最小值相差，即截面的最高处与最低处的高度差为， 底面周长为，即底面半径为1，故直径为2， 所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是. 故答案为： 12. 已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 【答案】 【解析】 【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积. 【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内， 在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为， 设在平面的投影为， 设在平面内的投影为， 则为的中点， 所以， 因为，所以， 在直线上分别取点四点， 使得， 因为， 所以， 过作交于， 则， 所以的中点在上， 同理可得在上， 所以的轨迹是矩形， 因为， ， 所以. 故答案为： 【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角. 二、选择（3*4） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一直线的两个平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】通过找出的反例，判断ABC正误；利用直线垂直平面的性质判定D的正误，得到结果. 【详解】作正方体， 平面，平面，平面平面，A选项错误； 平面，平面，，B选项错误； 平面平面，平面平面，平面平面，C选项错误； 根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一直线的两条平面平行，D选项正确. 故选：D 14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1i是关于的实系数方程 ∴，即 ∴，解得. 故选：D． 15. 如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解. 【详解】由题知AB面BCD, ABCD,又BC=BD，点是的中点， BECD, 且BE= 又，CD面ABE, 过B作BF于E，则CDBF,又AECD=E, BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离. ,解得BA=4 , ,利用 等面积知 . 故选D. 【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF 面ACD是关键. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点； （2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C. 考点：新定义 三、解答（8+8+10+12+14） 17. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以，即， 即，解得. 18. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 【答案】（1） 如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2） ∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ∴BE，DF，三线共点． 【解析】 【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；． （2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体下半部分圆柱的体积； （2）如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】（1） （2）；满足建筑要求 【解析】 【分析】（1）利用柱体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可，，求值后判断是否满足. 【小问1详解】 圆柱的体积， 【小问2详解】 连接，， 根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，， 圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异面直线所成角的正切值为， ，， 有，故该亭子满足建筑要求. 20. 如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又由，而，平面， 故⊥平面； （2） 证明：连接交于M，连接，由点F为线段的中点， 可得，而平面，平面， 故平面； （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合，由线面垂直的判定定理得到结论； （2）作出辅助线，由三角形的中位线定理得到线线平行，从而证明线面平行； （3）由（1）得到AC和平面ABE所成的角，求出边长，直接解直角三角形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，平面，即为和平面所成的角． 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 即和平面所成角的正弦值为． 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知是等边三角形． （1）求证：； （2）求二面角； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角，并说明点此时所在的位置． 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）过作于，连接，由题意可得为二面角的平面角，进而求解即可； （3）由题意可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，设直线与平面所成的角为，可得，要使最大，则需使最小，可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由，知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． 【小问3详解】 因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以，即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以，即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 【点睛】方法点睛：等体积法求点到面的距离是一种重要的方法，求线面角的最大值，当点到面的距离一定时，可求线段长的最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $