第五章 二元一次方程组（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第五章 二元一次方程组（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 3．把改写成用含有的代数式表示的形式，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 5．已知、是二元一次方程组的解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（    ） A．25 B．35 C．50 D．75 8．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．30种 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 10．二元一次方程共有 组正整数解． 11．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 12．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 13．已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（6分）解方程组： (1)； (2)． 15．（5分）一次函数的图象经过点和两点，求这个一次函数的表达式． 16．（5分）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 17．（5分）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 18．（5分）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 19．（5分）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 20．（5分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 21．（6分）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 22．（7分）甲、乙两地的路程为240千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速度继续前行，当离甲地路程为180千米时接到通知，要求中午准时到达乙地，设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系. (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为____________千米/小时； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； 23．（7分）6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 24．（7分）如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． (1)求直线所对应的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 25．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 26．（10分）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； C、含有3个未知数且含有二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 2．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．把改写成用含有的代数式表示的形式，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 解得：， 故选：A． 4．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，将①代入②中整理，即可得出答案． 【详解】解：将①代入②可得：， 整理得：， 故选：B． 5．已知、是二元一次方程组的解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，方程组中，左边加左边等于右边加右边，由此即可求解． 【详解】解：方程组中，左边加坐左边等于右边加右边， ∴，合并同类项得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握等式的性质，加减消元法解方程组是解题的关键． 6．关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值． 【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得， ∴，解方程组得，，代入方程得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键． 7．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（    ） A．25 B．35 C．50 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 由题意得：， 解得：， 即大和尚有25人，小和尚有75人， （人）， 即大和尚比小和尚少多50人， 故选：C． 8．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．30种 【答案】B 【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可． 【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得 ， 化简得， ∴， ∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 综上，有5种方案， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，则，再代值计算即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 11．若关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据已知方程组的解可得所求方程组的解为，求解即可． 【详解】由题意得：方程组的解为， 解得： 故答案为：． 12．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 【答案】15 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 解得： 故答案为15． 13．已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点的坐标为，可得，根据函数图像交点的意义可得，再根据，继而得到，求解即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所构成的方程组的解． 【详解】解：如图，设点的坐标为， ∵点坐标为， ∴， ∵方程组的解为， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（6分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得，解得 将代入，得，解得 故原方程组的解为 （2）解： 可得， 将整体代入， 可得， 解得， 将代入可得， 解得， 所以原方程组的解为 15．（5分）一次函数的图象经过点和两点，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，设这个一次函数的表达式为，把和代入，即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为，把和代入得： ， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 16．（5分）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线的含义，二元一次方程组的应用，先根据是边上的中线得出，设，，则，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【详解】解：设，，则， 边上的中线把的周长分成60和40两部分，， ，， 即， 解得：， 当，，时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， ∴，． 17．（5分）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 由①②得：，可求，则，计算求解即可． 【详解】解：， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴k的值为2． 18．（5分）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 19．（5分）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，根据已知得出关于a，b的方程组，进而得出答案．关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 【详解】解：关于x，y二元一次方程组的解是， 关于a，b的二元一次方程组中， 解得：． 20．（5分）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同， 解方程组可得：， 将代入可得：， 解得：， 将代入可得，原式， 即的值． 21．（6分）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，读懂题意，根据题中方法，利用加减消元法求解即可得到答案． （1）根据材料中解法，即可得到答案； （2）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，采用的是整体思想， 故选：A； （2）解：， 由②①，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是； （3）解：， 由②①，得③， ③，得④， ②④得，解得． 从而可得， ∴原方程组的解是． 22．（7分）甲、乙两地的路程为240千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速度继续前行，当离甲地路程为180千米时接到通知，要求中午准时到达乙地，设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系. (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为____________千米/小时； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； 【答案】(1)60 (2) 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、待定系数法求一次函数解析式等知识，数形结合是解题的关键. （1）根据路程除以时间即可得到答案； （2）求出点E的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】（1）解：（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时； 故答案为：60 （2）休息后行驶的时间为：（小时） 点.             设线段所表示的y与x之间的函数表达式为，则： ， 解得， 23．（7分）6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】(1)购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． (2)该单位选择优惠一更划算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元，根据购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元列出方程组求解即可； （2）分别计算出优惠一和优惠二的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元， 由题意，得 解得， 答：购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． （2）解：选择优惠一所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择优惠二所需费用为元， ∵， ∴该单位选择优惠一更划算． 24．（7分）如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． (1)求直线所对应的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线所对应的函数关系式为； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题． （1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出，，从而得到关系式； （2）点坐标是与轴的交点坐标，点坐标是把，联立，求其方程组的解再求三角形的面积； （3）当时，点在线段的垂直平分线上，进而可以求得点的横坐标，然后代入直线的解析式求得点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ， 设直线所对应的函数关系式为， 由图象知：直线经过点，， ， 解得， 直线所对应的函数关系式为； （2）解：由， 解得， ， ， ； （3）解：，，， 点的横坐标为：， 点在直线上， ， ． 25．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】(1) (2)点B的坐标为； (3)或． 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）设点B的坐标为，根据题意即可得到关于的方程组，进而得解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【详解】（1）解：点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； 故答案为：； （2）解：设点B的坐标为， ∵点B的“4阶智慧点”为， ∴， 解得， ∴点B的坐标为； （3）解：∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得或． 26．（10分）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查杠杆平衡的条件，整式的混合运算，函数思想的运用，理解题目中的数量关系，掌握函数思想解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，杠杆平衡时空桶和悬挂物理的情况进行分析即可求解； （2）根据杠杆平衡的条件，得到空桶内注满液体时的数量关系，联立方程组求解即可； （3）根据空桶时杠杆平衡的条件，倒满液体时平衡的条件列方程组求解即可； （4）根据杠杆平衡条件，可得，结合函数的增减性知识即可求解． 【详解】（1）解：将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体在点时，杠杆水平平衡，此时桶中没有液体， ∴密度为， 故答案为：； （2）解：在点悬挂空桶时，杠杆平衡，根据题意，，即， 在点的空桶内注满液体，空桶容积为，则液体的重力， ∵此时移动物体至，杠杆在水平位置平衡， ∴根据杠杆平衡条件得，，即， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：当测量密度为的液体时，由的刻度线与零刻度线之间的距离为，即此时的物体的力臂为：()， ∴，即， 当测量密度为的液体时，此时的物体的力臂为：（）， ∴，即， ∴， 解得，； （4）解：设物体对杆秤的力为动力，则液体和桶对杆秤的力为阻力， ∴，即， 在动力与阻力臂不变的情况下，增大液体重力，即增加空桶的容积，则变大，即该密度秤的精度会增加， ∴应该选择规格的空桶， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$