精品解析：江苏省盐城市大丰区实验初中教育集团联考2024-2025学年九年级上学期10月期中模拟考试数学试题

2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，故本选项不符合题意； D．，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列关于圆的说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 一个圆只有一个内接三角形 C. 圆心相同的圆是同心圆 D. 等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的确定可判断A，由圆的内接三角形的定义可判断B，由同心圆的含义可判断C，能够互相重合的两条弧是等弧，由等弧的概念可判断D，从而可得答案. 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A不符合题意； 一个圆上有无数个点，任意三点都可组成三角形，所以一个圆有无数个内接三角形，故B不符合题意； 圆心相同而半径不相等的圆是同心圆，故C不符合题意； 等弧所对的圆心角相等，正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是圆的确定，圆的内接三角形，同心圆，等弧的性质，掌握以上基础知识是解题的关键. 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 4. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/ 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 5. 如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E、F、G、H四个， 所以，最终从点G落出的概率为， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率问题，解题的关键是掌握概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，由正多边形外角和为360度求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，则，同理可得，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，∵是正八边形的一个外角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴四边形的周长是， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出AB，AC，进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】如图，连接AP． ∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0）， ∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t， ∴AB=AC． ∵∠BPC=90°， ∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小， ∴点P在AD上． ∵A（0，1），D（3，5）， ∴AD==5， ∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解答本题的关键． 8. 如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】解：如图，连接,由正方形知，可证，得，得，①正确；求证，证得，得，于是，是等腰直角三角形；②正确；求证，得，可得③正确；由知，，可证周长，④错误． 【详解】解：如图，连接, ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴①正确； ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形；②正确； 如图，， ∴． ∴． ∴四边形的面积；故③正确； 由知，， ∴周长，④错误； 故选：A 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理；添加辅助线构造全等三角形，从而得到相等线段、相等角是解题的关键． 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 若（a2+b2）2-3=0，则代数式a2+b2的值为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析： 又 故答案为 10. 设是方程的两个实数根，则__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数关系得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根，、 ∴， ∴ 故答案为： 11. 一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①4为斜边长；②3和4为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为4，这个三角形的外接圆半径为2； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝ ＝5， 因此这个三角形的外接圆半径为 ． 故答案为2或． 【点睛】本题考查直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 12. 如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积=扇形ABB′面积+三角形A B′C′的面积-三角形ABC的面积． 【详解】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1， ∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2 ∴S△ABC=AC•BC=． 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′. ∴S阴影=S扇形ABB′+ S△AB′C′-S△ABC =+- =0.5. 故答案为0.5． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求． 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式即可求解． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果， ∴朝上的面的点数为奇数的概率是． 故答案为：． 14. 为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选______.（填“小洋”或“小亮”）． 【答案】小亮 【解析】 【分析】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键． 根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定． 【详解】解：由折线统计图可得， 小洋的波动大，小亮的波动小， 小亮的成绩更加稳定， 应选小亮． 故答案为：小亮． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形等知识点，根据题意可推出，进而得是等边三角形，据此即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形； ∵， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； 【详解】解：解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 根据题意，有， 整理这个方程，得：， 解方程得：，（舍去）， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 【答案】142 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）移项提取公因式，利用因式分解法解答即可求解 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项提取公因式得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，． 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：； 抽取的九年级学生的视力在C组的数据是； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.8 4.7 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数． 【答案】（1）；25 （2） 解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下： 从平均数来看，两个班一样； 从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些； 综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些； （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义以及频数分布表，样本估计总体： （1）根据中位数的定义解答即可； （2）从平均数、中位数、众数各个方面分析即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组， ∴； ， ∴； 故答案为：；25 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：， 即八年级学生视力正常的人数为150人． 21. 如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： （1）他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ （2）如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 【答案】（1） （2） 解：如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由如下： ∵转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份． ∴，，，，， ∴抽一次平均获得奖励元， ∴不再购买元获奖金额与付出资金比为，再购买元获奖金额与付出资金比为， ∵， ∴如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用及加权平均数，概率所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别算出一次抽奖和两次抽奖获奖平均金额与付出资金的比，比较即可求得答案． 【小问1详解】 解：转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份． ∴ 【小问2详解】 略 22. 如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． （1）求证：与相切； （2）当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】（1） 证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 是切线； （2）如图所示， 点F到直线的距离为：或． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，根据直径所对的圆周角是直角得出进而得出，证明，得出即可得证； （2）分点在以及半圆上分别作出图形，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在上时，连接，交于点G， ， ， ， ， ， 直径， ， ， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，点到直线的距离为：或． 23. 已知关于x的方程2x2+kx-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵△=k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2). 【解析】 【分析】（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可直接求出方程的另一个根. 【详解】解：(1)略 (2)设方程的另一个根为x1， 则， 解得：， ∴方程的另一个根为. 【点睛】本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 24. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）③； （2） ①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：①略 ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 25. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 26. 如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． （1）求证：直线直线； （2）若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 【答案】（1） 证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2） ①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ② 【解析】 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 27. 阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1） ① 28度； ②，后续证明如下： 如图2，连接交于点，此时最小， 点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）4； （3）①结论：，理由： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ② 【解析】 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，． ②略 （2）如图3，连接， 点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①略 ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于圆的说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 一个圆只有一个内接三角形 C. 圆心相同的圆是同心圆 D. 等弧所对的圆心角相等 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/ 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. C. 16 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 若（a2+b2）2-3=0，则代数式a2+b2的值为 ______． 10. 设是方程的两个实数根，则__． 11. 一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是_____． 12. 如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________ 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 14. 为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选______.（填“小洋”或“小亮”）． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 16. 如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长________． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 18. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）． （2）． 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：； 抽取的九年级学生的视力在C组的数据是； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 4.82 4.9 九年级 4.82 4.8 4.7 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数． 21. 如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： （1）他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ （2）如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 22. 如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． （1）求证：与相切； （2）当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 23. 已知关于x的方程2x2+kx-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根． 24. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 26. 如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． （1）求证：直线直线； （2）若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 27. 阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $