精品解析：2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分（选择题共60分） 一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】由解析式可知，， 及， 所以定义域为， 故选：A 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 4. 如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（ ） A. 与直线相交 B. 与直线平行 C. 与直线垂直 D. 与直线是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 5. 如图，四边形是正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形法则即可求解. 详解】. 故选：B 6. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 7. 在下列各数中，满足不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】的否定为：. 故选：C 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 10. 在下列各数中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 11. 在下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断两个命题的关系，当时，是充分条件；当时，是不充分条件；当时，是必要条件；当时，是不必要条件. 【详解】当时，，∴“”是“”充分条件； 当时，，此时满足要求，而，故不一定成立，∴“”“”不必要条件. 故选：A. 13. 在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合角的定义即可得解. 【详解】当终边在轴非负半轴上时，有， 当终边在轴非正半轴上时，有， 故终边在轴上的角的集合为. 故选：C. 14. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A 15. 下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图. 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可. 【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即； 标准差时反应一组数据的波动强弱的量， 由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即. 故选：B 16. 函数的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 17. 已知，则下面不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 18. 2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率. 【详解】设为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为， 中基本事件的个数为，故， 故选：D. 19. 在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】区间上单调递增，又，， 所以，即，解得， 故选：C. 20. 小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ） A. 108 B. 162 C. 180 D. 189 【答案】C 【解析】 【分析】正方体体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型体积为， 则. 故选：C. 第二部分（非选择题 共40分） 二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分． 21. _________． 【答案】2 【解析】 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 22. 已知则_________；的最大值为_________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解. 【详解】由解析式可知：， 当，易知， 当，，当时，取最大值2， 所以的最大值为2， 故答案为：1，2 23. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则_________；_________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果. 【详解】由图可知， ，其中为在上的投影， 由图可知投影长度为1，且方向与相反， 故. 故答案为：2；. 24. 某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5 5 6 7.5 9 11 12 13 B部门 3.5 4 5.5 7 9.5 10.5 11 C部门 5 6 6.5 7 8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①② 【解析】 【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，部门员工运动时间存在比部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案. 【详解】①部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工， ∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为，故①正确； ②、两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有种情况， 其中运动时间相同的情况只有1种， ∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为，故②正确； ③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时， 此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确. 故答案为：①② 三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程． 25. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求函数的零点． 【答案】（1） （2），3 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 26. 已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． （1）当时，求电流； （2）当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】（1）； （2）（答案不唯一，）. 【解析】 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【小问1详解】 函数，当时，. 【小问2详解】 当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 27. 如图，在三棱锥中，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是的中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证； （2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直. 【小问1详解】 在中，因为，分别是，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ①A，②A，③B. 28. 已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． （1）已知函数缓慢递增，写出一组的值； （2）若缓慢递增且，直接写出的取值范围； （3）设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增； 条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减； 结论②：单调递减． 【答案】（1） （2） （3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得为任意值，即可求解； （2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得的取值范围； （3）先确定条件条件①：缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：缓慢递减，根据条件条件①：缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：单调递减.若单调递增不妨设，代入，可得两结论都不满足. 【小问1详解】 已知是定义在上的缓慢递增， 如果对任意的，当时，都有， 则可得为任意值，所以可得； 【小问2详解】 若缓慢递增且， 根据定义可得 ，将已知代入化简可得， 所以的取值范围为 【小问3详解】 若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果缓慢递增，那么缓慢递减． 理由如下：因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上缓慢递减． 若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果缓慢递增，那么单调递减． 理由如下： 因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上单调递减． 而条件②：为单调递增函数， 不妨设，则， 根据题意代入，不满足新的定义， 所以为单调递增函数不能推出缓慢递减；也不能推出单调递减. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分（选择题共60分） 一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（ ） A. 与直线相交 B. 与直线平行 C. 与直线垂直 D. 与直线是异面直线 5. 如图，四边形是正方形，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 在下列各数中，满足不等式的是（ ） A. B. C. D. 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 在下列各数中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 11. 在下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 14. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3 15. 下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图. 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 函数的一个单调递增区间是（ ） A B. C. D. 17. 已知，则下面不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 18. 2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A B. C. D. 19. 在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（ ） A. B. C. D. 20. 小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ） A. 108 B. 162 C. 180 D. 189 第二部分（非选择题 共40分） 二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分． 21. _________． 22. 已知则_________；的最大值为_________． 23. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则_________；_________. 24. 某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5 5 6 7.5 9 11 12 13 B部门 3.5 4 5.5 7 9.5 10.5 11 C部门 5 6 6.5 7 8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论序号是_________． 三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程． 25. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求函数的零点． 26. 已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）函数解析式为． （1）当时，求电流； （2）当时，电流取得最大值，写出的一个值． 27. 如图，在三棱锥中，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 28. 已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． （1）已知函数缓慢递增，写出一组的值； （2）若缓慢递增且，直接写出的取值范围； （3）设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增； 条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减； 结论②：单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$