海南省海南华侨中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷

2024-2025学年海南省海口市华侨中学高一（上）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.若p：，则p的一个充分不必要条件为(    ) A. B. C. D. 4.集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则若对于任意两个有限集合A，B，有我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为(    ) A. 29人 B. 23人 C. 36人 D. 25人 5.已知，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知集合，，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为(    ) A. B. C. D. 7.设集合，，，则(    ) A. B. C. D. 8.命题p：，恒成立，命题q：，成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若，，下列说法中错误的是(    ) A. B. C. 若，则 D. 10.已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则(    ) A. B. 的解集是 C. D. 的解集为 11.下列叙述中，正确的是(    ) A. 若，，则的最小值为 B. 若，则的最小值为10 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式的解集是______. 13.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾和周公讨论过“勾三股四弦五”的勾股定理特例.已知一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形面积的最大值为______.这个直角三角形周长最大值为______. 14.已知集合，集合若中只有四个整数，则实数m的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合， 求，； 求， 16.本小题15分 已知，求证：； 已知，求证：是的充要条件. 17.本小题15分 已知， 若，求实数a的取值范围； 若，求实数a的取值范围. 18.本小题17分 已知函数 若，求不等式的解集； 若，关于的x不等式有实数解，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 某中学举行“美丽数学”徽章设计大赛，王同学设计的“几何花朵”进入了最后角逐，评委组要对它的制作成本进行预估，“几何花朵”设计灵感来自三个全等的矩形如图一的折叠拼凑，其中徽章的六个直角阴影部分如图二要用镀金工艺上色.造价是2元，徽章中间六边形部分造价是1元，已知一块矩形材料如图一所示，矩形ABCD周长为8cm，其中长边AD为xcm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点 用x表示图一中面积，并标出x的取值范围. 试求一个徽章的镀金部分面积的最大值，并求出此时该徽章的总造价. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：集合，， 则 故选： 根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：命题p：，是个全称命题． 它的否定是：，， 故选 直接依据全称命题的否定写出其否定． 本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化． 3.【答案】B  【解析】解：若p：，则， 结合选项p的一个充分不必要条件为 故选： 根据充分不必要条件与集合间的关系可解． 本题考查充分不必要条件与集合间的关系，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：设参加田赛的学生组成集合A，则， 设参加径赛的学生组成集合B，则， 由题意可知，， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选： 利用容斥原理求解． 本题主要考查了容斥原理，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：因为，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选： 由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：，， 阴影部分表示集合为 故选： 根据描述法表示集合，求出集合M、N，再求阴影部分表示的集合． 本题考查Venn图表示集合关系及运算，属于基础题． 7.【答案】D  【解析】解：集合，， 则，，故A、C均错误； ，， 则，，D正确； ，，，B错误． 故选： 根据已知条件，结合集合的运算，以及集合的包含关系，即可求解． 本题主要考查两个集合的包含关系，属于基础题． 8.【答案】A  【解析】解：因为p：，恒成立为真命题， 所以在时恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即； 因为命题q：，成立为假命题， 所以，为真命题， 则，即， 若p是真命题，q是假命题，则 故选： 结合含有量词的命题的真假关系分别求出p真q假时的a的范围，即可求解． 本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：若，，则，A错误； 由不等式性质，，B正确； 若，则， 所以， 所以，C错误； 当，，，时，D显然错误． 故选： 结合不等式性质检验选项A，B，C，举出反例检验选项D即可判断． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 10.【答案】AD  【解析】解：由题知，，且， 即得，，故A正确； 由可得， 即，所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 由可得， 所以，解得，故D正确． 故选： 利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，然后代入选项，即可判断选项正误． 本题考查了一元二次不等式的求解和韦达定理的应用，属于中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：，，则， 当且仅当，即时取等号，A正确； ，则，当且仅当，即时取等号，B正确； ，，且，当且仅当，即，时取等号， 所以，C正确； 因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号，显然等号无法取得，D错误． 故选： 由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 12.【答案】或  【解析】解：由可得， 解得，或 故答案为或 故答案为：或 把分式不等式转化为二次不等式即可求解． 本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：设两直角边分别为a，b， 则，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为2； 因为三角形的周长为，当且仅当时取等号， 故周长的最大值为 由已知结合勾股定理及基本不等式即可分别求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：集合，集合； 若中的四个整数是，则，解得； 若中的四个整数是，则，解得； 若中的四个整数是，则，解得； 综上，实数m的取值范围是 故答案为： 化简集合A，根据中只有四个整数，讨论即可得出不等式组，从而求出m的取值范围． 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题． 15.【答案】解：集合，， 所以，； 由可得或， 或， 所以或  【解析】先求出集合B，再求出两个集合的并集，交集； 由可得两个集合的交集的补集，求出集合A的补集，再求出结果． 本题考查一元二次不等式的求法及两个集合的并集，交集，补集的求法，属于基础题． 16.【答案】证明：， 由于，则，， 则，即； 根据题意，若，则，必有， 反之，若，则有或， 解可得， 无解， 则有， 故是的充要条件．  【解析】利用作差法证明可得结论； 由集合相等的定义分析“”和“”的关系，即可得结论． 本题考查不等式的证明，涉及充分必要条件的证明，属于基础题． 17.【答案】解：由，可得， 又，， 则有，解得， 即实数a的取值范围是； 当，即时，，满足； 当，即时，由， 可得或，解得或， 综上，实数a的取值范围是  【解析】由，可得，再根据集合的包含关系求解； 由，分和进行分类讨论，即可求得结论． 本题考查集合的相互关系及集合的运算，属基础题． 18.【答案】解：不等式即为，可化为， 由，得； 若，则不等式为，解得； 若，则，解不等式得或； 若，则，解不等式得或； 综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为或； 不等式可化为； 时，不等式为，不成立； 时，不等式必有实数解； 时，应满足，解得或，即； 综上，实数m的取值范围是  【解析】不等式化为，讨论和，，从而求出不等式的解集；不等式化为，讨论，和，从而求出m的取值范围． 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题． 19.【答案】解：由题意可得出， 设，， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 所以， 所以的面积为； 设一个徽章的总造价用为y元， 则， 当，即，又因为，所以当时取到最大值， 故当AD为时，一个徽章的总造价最大费用为元．  【解析】根据已知条件，可推得，再在中，运用勾股定理得，解得，所以，再结合面积公式，即可求解； 根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$