精品解析：吉林省长春市第二中学2024-2025学年高一上学期第二学程测试数学试题

长春市第二中学2024-2025届高一年级第二学程测试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 设命题，则为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论. 【详解】因为，命题，则为. 故选：C. 3. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分必要条件的概念判断， 【详解】由可得且， 当时，， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：A 4. 若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出实数的值 【详解】解：因为幂函数在上是减函数， 所以， 由，得或， 当时，，所以舍去， 当时，， 所以， 故选：B 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 6. 已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设易知奇函数在、上递增，结合且或，即可求解集. 【详解】由题设在上递增，又是定义在上的奇函数， 所以在上递增，而，则， 由，有或，则或， 所以不等式解集为. 故选：A 7. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】若，解不等式，即，解得，即， 当时，集合中的所有整数之和取最大值为，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，，且集合中所有整数元素之和为， 且，因此，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解. 8. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果. 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中为偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，并利用函数单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，满足偶函数定义，利用二次函数性质可得其在上单调递增，故A正确； 对于B，易知，即满足偶函数定义，且当时，为单调递增，即B正确； 对于C，显然的定义域为，不关于原点对称，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，且满足，即是奇函数，故D错误； 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质可判断ABC，由作差法可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，则， 而，则，B正确； 对于C，若，则， 而，则，C正确； 对于D，， 因为，当时，， 即有，故D错误. 故选：BC 11. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， 由A可知，，，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______ 【答案】且 【解析】 【分析】利用函数有意义列不等式求解. 【详解】由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 13. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”； 当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合.若与构成“全食”，则的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】分情况解集合，再根据“全食”的概念分析集合中元素满足的关系，列式求解即可. 【详解】由题可得：要使与构成“全食”，则， 由集合可知， 当时，则，此时； 当时，则，此时不满足； 当时，则， 要使，则，即，解得， 综上所述：要使与构成“全食”，则的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点， 且点、关于直线对称，可得，同理可得， 由，可求得， 所以， . 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为， 集合 . （1）当时， 是否满足? 说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，不满足，理由如下: 结合题意可得：或， 且当时，可得， 所以且，故. （2）或. 【解析】 【分析】（1）求得集合对应不等式的解集，再求解即可判断； （2）从集合是否为空集的角度进行分类讨论，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以, 又由或可得： 当时，即，解得：； 当时，即或， 所以或， 所以或. 综上所述，实数的取值范围或. 16. （1）已知，当时，取得最小值为，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过凑项利用基本不等式即可求得所求式的最小值，即得的值； （2）利用参变分离法将题设不等式化成，从而只需求函数在上的最小值，这可以利用凑项、根据基本不等式得到. 【详解】（1）因，则， 当且仅当时，即时，取得最小值为1， 故，则； （2）由，可得， 因，依题意，在时恒成立， 即需求函数在上的最小值. 因， 当且仅当时，即时，取得最小值10， 即，故的取值范围为. 17. 已知定义在上的奇函数， 当时， （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式； （2）根据函数的解析式，作出函数的图象； （3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 因为函数是奇函数，所以， 且，所以函数在在上的解析式为； 【小问2详解】 根据函数的解析式，作出函数的图象如图所示， 【小问3详解】 函数在区间上是单调函数，根据图象可知， 或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 【答案】（1）①或；② 0或1. （2） 【解析】 【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 ① 因二次函数的对称轴为直线， 当时，，当时，. （Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数， 依题意，由，解得； （Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数， 依题意，由，解得. 综上，或； ② 当时，函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，. (Ⅰ)若，则由，解得（舍去）； （Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅳ）若，则由，解得（舍去）. 综上，t的值为0或1； 【小问2详解】 因二次函数的对称轴为直线， 又，则，于是， 故当时，函数为增函数， 即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 于是，， 因为整数，且，则，即， 又因，即，解得. 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第二中学2024-2025届高一年级第二学程测试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 设命题，则为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中为偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______ 13. 当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”； 当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合.若与构成“全食”，则的取值范围是______. 14. 已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为， 集合 . （1）当时， 是否满足? 说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 16. （1）已知，当时，取得最小值为，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 17. 已知定义在上的奇函数， 当时， （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $