第14章 勾股定理（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第14章 勾股定理（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 5．下列说法，正确的是（    ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 6．下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 9．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．“见影排形”挑战赛中，小武摆出了如图的图形，在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则 ，正方形b的面积是 ． 12．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 13．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中 ． 14．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm． 15．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 三、解答题（8小题，共70分） 16．问题背景：在中，、、三边的长分别为 、、 ，求这个三角形中边上的高．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点 处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形中边上的高． (1)请在正方形网格中画出格点； (2)求中边上的高． 17．四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 18．在中，，，，， 求的面积． 19．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 20．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 21．如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    22．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 勾股定理（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系、两点间距离公式等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 建立如图坐标系，则，设，根据两点间距离公式可得解得，即的边上的高为6，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：建立如图坐标系，则， 设， 则有：， 解得：， ∴的边上的高为6， ∴的面积为． 故选D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 3．如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上表示圆弧的半径，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 5．下列说法，正确的是（    ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、命题的真假判断、线段垂直平分线的性质、反证法的应用，熟练掌握相关性质和概念是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、线段垂直平分线的性质、反证法逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故A选项错误，不符合题意； B、“若，则”的逆命题是“若，则”，当，且时，也满足，故逆命题是假命题，B选项说法错误，不符合题意； C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等，故C选项说法错误，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，D说法正确，符合题意； 故选：D． 6．下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 【答案】C 【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可． 【详解】A. 由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确； B. 反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确； C. 是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误； D. 是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确． 故选：C 【点睛】此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键． 7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 8．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 9．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可． 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示，   ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点，    则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．“见影排形”挑战赛中，小武摆出了如图的图形，在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则 ，正方形b的面积是 ． 【答案】 4 25 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形b的面积为， 故答案为：4，25． 12．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴解得 ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 13．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中 ． 【答案】每一个内角都大于或等于45° 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45° 故答案为：每一个内角都大于或等于45°． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm． 【答案】50 【详解】如图,设圆心为O, 连接AO，CO， ∵直线l是它的对称轴， ∴CM=30，AN=40， ∵CM ²+OM ²=AN ²+ON ²， ∴30 ²+OM ²=40 ²+(70−OM) ²， 解得：OM=40， ∴OC==50， ∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm. 故答案为50. 15．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 三、解答题（8小题，共70分） 16．问题背景：在中，、、三边的长分别为 、、 ，求这个三角形中边上的高．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点 处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形中边上的高． (1)请在正方形网格中画出格点； (2)求中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理作出长是 、、 的线段，即可求解； （2）先利用图形的和差关系求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）， 设边上的高为， 则，即， 解得：， 中边上的高为． 17．四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 18．在中，，，，， 求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先证明，再由勾股定理的逆定理得到，据此利用勾股定理得到，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 20．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)不能．理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴是直角三角形； （3）解：不能．理由： 由，得． 若为等边三角形， 则， 又， ． 又， ， 又， ． ∴不可能为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 21．如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    【答案】0.9米 【分析】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点与地面的距离为0.9米． 22．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，勾股定理求出，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$