上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考诊断测试数学试题

2024学年第一学期上大附中诊断测试 高三年级 数学试卷 试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上 一、填空题（1~6：每小题4分，7~12：每小题5分，共54分） 1.若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为__________ 2.不等式的解集为__________ 3.将化为的形式__________ 4.棱长为2的正方体的内切球的表面积为__________ 5.若函数，，若的最小值为2，则__________ 6.函数在处的切线倾斜角是__________ 7.在的二项展开式中，常数项的值为__________ 8.若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为__________ 9.把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点。且在上的投影为，则双曲线的离心率为__________ 11.平面点集所构成区域的面积为__________ 12.已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为__________ 二、选择题（13~14：每小题4分，15~16：每小题5分，共18分） 13.若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14.函数，正确的命题是（ ） A.定义域为 B.值域为 C.在定义域上是严格增函数 D.有两个不同的零点 15.下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①若事件和相互独立，则②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数； A.0 B.1 C.2 D.3 16.若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记。下列命题中正确的是（ ） A.已知，且，则 B.已知，若，则对任意，都有 C.已知，，则存在实数，使得 D.已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17.（6+8）已知集合， （1）求； （2）若不等式在集合上恒成立，求的取值范围。 18.（6+8）在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点。 （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求点到平面的距离。 19.（6+8）设函数，且。 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 20.（4+6+6）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点。 （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值。 21.（4+6+8）已知函数。 （1）若，求函数的极值； （2）①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$