精品解析：广东省湛江市雷州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期高一级第一次月考数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. ，且 C. D. 且 7. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 若且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）下列命题中为真命题的是（ ）． A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D. 若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 方程的解集用列举法表示为_____________. 13. 二次函数的函数图象与x轴两交点之间的距离为_________． 14. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合．求： （1）求； （2）求； （3）求． 16. 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求实数的值. 17. 设集合，. （1）当时，求. （2）若，求m的取值范围. 18. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 19. 已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，满足恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高一级第一次月考数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义得出结果. 【详解】由集合，，得. 故选：C. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为全称命题，该命题的否定为“”. 故选：C. 3. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以， 即不等式的解集是. 故选：D. 5. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断和的定义域和对应关系是否相同即可求解. 【详解】A选项，函数与的定义域均为， ，，对应关系不同， 所以和不是同一个函数； B选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以和不是同一个函数； C选项，与， 定义域和对应关系均相同，所以是同一个函数； D选项，函数中，需满足， 解得，所以函数的定义域为， 而中，需满足， 解得或，所以函数的定义域为， 函数和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：C. 6. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. ，且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0和二次项系数不等于0，求解即得结果. 【详解】，，，一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得． 是二次项系数，不能为0， 且． 故选：B． 7. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， （当且仅当即时取“”）. 故选：C 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解含参数的一元二次不等式得到和的值，再代入中，结合均值不等式求解最值即可. 【详解】不等式可化为， 因为，所以，所以不等式的解集为， 所以，，则， 因为，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果． 【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件， ∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4， ∴实数a的值可以是4，5，6． 故选：BCD． 10. 若且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】取特值可判断A，C；由不等式的性质可判断B，D. 【详解】对于A，，则，故A错误； 对于B，由，两边同时乘以，，故B正确. 对于C，若，则，故C错误； 对于D，因为，，则，故D正确. 故选：BD. 11. （多选）下列命题中为真命题的是（ ）． A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D. 若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】从“”与“”互相不能推出，得到A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误； 由一元二次方程根的判别式可知，C正确； D选项可举出反例. 【详解】 A √ 且． B × 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件． C √ 一元二次方程有实数根，则，反之亦然． D × 当集合时，应为充要条件． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 方程的解集用列举法表示为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先解方程组，再按列举法表示点集的形式写出即可. 【详解】方程，两式相加得，所以， 代入原式得， 所以原方程组的解为， 解集用列举法表示为. 故答案为：. 13. 二次函数的函数图象与x轴两交点之间的距离为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 利用公式计算，即可得答案； 【详解】函数图象与x轴两交点之间的距离为， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____． 【答案】{0}∪[，+∞）． 【解析】 【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围． 【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0， 解得x，故成立； 当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0， 解得； 综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）． 故答案为：{0}∪[，+∞）． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合．求： （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由交集，并集和补集的定义易得结果. 【小问1详解】 由并集定义得：； 【小问2详解】 由交集定义得：； 【小问3详解】 由补集定义得：，所以. 16. 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求实数的值. 【答案】m= -1． 【解析】 【分析】根据根的判别式可得的大范围，再根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21，利用根与系数关系即可得到的值 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则，， 根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21， 即， 解得或， 另由根的判别式可得，故 综上，， 【点睛】本题考查二次函数零点与方程根的关系，二次函数根与系数关系、根的判别式等知识点，属于基础题． 17. 设集合，. （1）当时，求. （2）若，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入相应集合，并结合交集与并集的概念即可求解. （2）由题意，这里要注意对集合分两种情形讨论：集合为空集或者集合不为空集，然后相应去求解即可. 【小问1详解】 当时, , 又因为， 所以 【小问2详解】 若,则分以下两种情形讨论： 情形一：当集合为空集时，有， 解不等式得. 情形二：当集合不为空集时，由以上情形以可知，此时首先有，其次若要保证，在数轴上画出集合如下图所示： 由图可知，解得；结合可知. 综合以上两种情形可知：m的取值范围为. 18. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 【答案】时的最大面积为 【解析】 【分析】由题意可知，，即，设，则，，再根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得面积的最大值及相应的的值. 【详解】由题意可知，矩形的周长为，，即， 设，则，，而为直角三角形， ∴，∴，∴， ∴. 当且仅当，即，此时满足， 即时的最大面积为. 19. 已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，满足恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）36 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式得到，再利用换元法与二次不等式的解法即可得解； （2）利用代入法将不等式左式问题转化为，从而利用基本不等式“1”的妙用求得不等式左式的最小值，进而得到关于m的不等式，由此得解． 【小问1详解】 ，，当时，， 当且仅当时等号成立， 令，得，解得：（舍去）或， ，解得，当且仅当时等号成立， 的最小值是36； 【小问2详解】 当时，，可得． 由得， 又，，， 当且仅当，即时等号成立． 当时，求的最小值是10． 则有，解得，即m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $