精品解析：江苏省苏州市吴中区西安交通大学苏州附属中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年江苏省西安交大苏州附中八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB，BC＝4，AC＝5 B. AB：BC：AC＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A∠B∠C 3. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 4. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，中，交于点D，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 8. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 9. 如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 10. 如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 4的平方根是_______． 12. 如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B=_____°． 13. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 14. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是________cm． 15. 已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角形的周长是______． 16. 如图，已知的周长是16，分别平分和，于D，且，的面积是______． 17. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________． 18. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 求下列各式中的x的值： （1）； （2）． 20. 已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求的值； （2）求的立方根． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 22. 如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 23. 已知：如图，，M是的中点，连接、． （1）求证：． （2）若，求证：是等边三角形． 24. 如图，在中，，，，交于点F，连接． （1）请说明：； （2）当时，求的度数． 25. 在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为 ； （2）如果，可得的度数为 ； 操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． （3）如图3，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点A落在点B处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图4方式折叠，边交于点F．若是等腰三角形，则的度数可能是 ． 26. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”． （1）如图1，在中，，，D为垂足，为的“妙分线”．若，则长为______； （2）如图2，在中，，，D是延长线上一点，E为上一点，，连接并延长交于点F，平分，分别交，于点G，H，连接．求证：是的“妙分线”； （3）如图3，在中，，．若为的“妙分线”，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省西安交大苏州附中八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB，BC＝4，AC＝5 B. AB：BC：AC＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A∠B∠C 【答案】C 【解析】 【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论． 【详解】解：A．∵52+42＝25+16＝41＝（）2， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； B．∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C180°＝75°≠90°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； D．∵∠A∠B∠C， ∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C、1的立方根是1，故该选项不符合题意； D、0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 4. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据三角形面积公式得到，结合题意求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 7. 如图，中，交于点D，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B=∠C=30°，由AD⊥AC，∠C=30°，得出CD=2AD=4，再证明∠BAD=∠B=30°，那么AD=DB=1，于是BC=CD+BD=2+1=3． 【详解】解：在△ABC中， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， 又∵AD⊥AC， ∴∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠B=30°， ∵∠C=30° ∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°， ∴AD=DB=1， ∴BC=CD+BD=2+1=3． 故选D． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质． 8. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】解： ， ，， 中，和的平分线相交于点， ，， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：C． 9. 如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍． 【详解】解：在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，AH=HC， ∴AC2=2AH2， ∴HC=AH=， 同理：CF=BF=，BE=AE=， 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=6， S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=HC•AH+CF•BF+AE•BE， 即(AC2+BC2+AB2) (AB2+AB2) AB2 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 10. 如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B=_____°． 【答案】30°． 【解析】 【详解】解：∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD，又CD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∴∠B=90°-∠A=30°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 14. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是________cm． 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示：由题意可得，展开图中AB＝24cm，BC＝18cm， 则在Rt△ABC中，（cm）． 故答案为：30． 【点睛】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键． 15. 已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】或##22或20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为时；当腰长为时；结合三角形三边关系进行判断能否组成三角形，进而求出周长即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当腰为时，三边长分别为，，，符合三角形的三边关系，则其周长为； 当腰长为时，三边长分别为，，，符合三角形的三边关系，则其周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是或， 故答案为：或． 16. 如图，已知的周长是16，分别平分和，于D，且，的面积是______． 【答案】32 【解析】 【分析】过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，于D， ∴， 即， ∴的面积是： ， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 17. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________． 【答案】45° 【解析】 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 18. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为______． 【答案】2.5或1 【解析】 【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】如图，设BM=x， 在Rt中，AB=10，AC=6， BC=， ， ， O是AB的中点， OA=OB， 在和中， （ASA） PA=BQ=6-1=5，OQ=OP ， MQ=MP， 解得x=2.5． 当点P在AC的延长线时，同法可得， 解得x=1， 综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1． 故答案为2.5或1． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题：本题共8小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 求下列各式中的x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解； （2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ∴； 【小问2详解】 解：，， ， 的立方根是2． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）点P即为所求的点． （3）5 【解析】 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接AC1，与直线l的交点即为所求； （3）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）△ABC的面积=3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要作图−轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积． 22. 如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，证明出垂直平分，即可得解，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键． 【详解】略 23. 已知：如图，，M是的中点，连接、． （1）求证：． （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） ∵， ∴，是直角三角形，斜边均为， ∵M是的中点， ∴，， ∴； （2） 在（1）中已证明：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在（1）中已证明， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）利用三角形外角的定义与性质证明，再结合（1）的结论即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质等知识．掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是解答本题的关键． 24. 如图，在中，，，，交于点F，连接． （1）请说明：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和定理， （1）根据同角的余角相等得到，即可证明； （2）由题意得，结合得和，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． 25. 在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为 ； （2）如果，可得的度数为 ； 操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． （3）如图3，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点A落在点B处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图4方式折叠，边交于点F．若是等腰三角形，则的度数可能是 ． 【答案】（1） （2）； （3）的度数可能为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，从而得出，再根据三角形周长公式计算即可得解； （2）设，则，由折叠的性质可得：，结合，得出，求解即可；由勾股定理得出，由折叠的性质可得：，，由等面积法得出，由勾股定理得出，从而得出，即可得解； （3）由折叠的性质结合直角三角形的性质可得，由等边对等角得出，设，则，再由折叠的性质可得，从而得出，，再由等腰三角形的定义，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得：， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点A落在点B处，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图4方式折叠，边交于点F． ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即， 解得：， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的度数可能为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”． （1）如图1，在中，，，D为垂足，为的“妙分线”．若，则长为______； （2）如图2，在中，，，D是延长线上一点，E为上一点，，连接并延长交于点F，平分，分别交，于点G，H，连接．求证：是的“妙分线”； （3）如图3，在中，，．若为的“妙分线”，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：，，平分， ，， 在和中 ， ，即为等腰三角形， ， 在和中 ， ， ，， ， ，即是直角三角形， 是的“妙分线”； （3）3或 【解析】 【分析】（1）根据“妙分线”的定义可得，结合勾股定理求出，即可解答； （2）先证明，可得，即为等腰三角形，再证明，得，根据， ，可得，可得是直角三角形，即可解答． （3）根据是的“妙分线，分和两种情况讨论，然后分别根据勾股定理列方程求解即可．再结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 ，，， 在中，由勾股定理有， ， 是的“妙分线”， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 是等腰三角形， 是的“妙分线”， 点在的延长线上，， ∴当时， ， 在中，由勾股定理得①， 在中，由勾股定理得②， ②①得，解得， 将代入①，解得； 如图所示，当时， 设， ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，读懂题意，理解“妙分线”熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $