精品解析：广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025 届初三年级第一次月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 3. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 4. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 5. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 8. 如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（ ） A. B. C. D. 二． 填空题 （共5小题，每题3分） 9. 若，则锐角的度数为______． 10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 11. 如图，正方形的边长为，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4，则的值为________． 13. 如图，将等边沿翻折得，连接交于点． 点E为边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点P，连接，若 则长为______． 三． 解答题 （共6小题） 14. 计算和解方程： （1） （2） 15. 如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，连接，求的长． 16. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 17. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 18. 某商场购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价为30元，比纪念品B的单价高10元． 其中纪念品A的售价为45元，纪念品B的售价为35元． （1）经统计，6月份纪念品A的月售量为100件． 7月份，商场决定采用对纪念品A降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款纪念品每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念品降价多少元时，月销售利润达1980元？ （2）若商场计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品 A的数量不少于纪念品 B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 20. 已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． （1）如图1， 求证： （2）如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 （3）如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 届初三年级第一次月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，根据观察得到三视图即可得到答案． 【详解】解：主视图是 故选：D． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 3. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 4. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【详解】∵sinA＝，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选C． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 5. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 8. 如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 二． 填空题 （共5小题，每题3分） 9. 若，则锐角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的正切值，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由一元二次方程根的判别式列出，求解即可，也考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 11. 如图，正方形的边长为，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识以及平面图形旋转后的立体图形，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力和计算能力，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．熟知三视图的知识和具备良好的空间想象能力是解题的关键． 【详解】正方形的边长为，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体，该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两边长分别为和， 故矩形的面积为． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4，则的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．过点作于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，则，得到，进一步列式即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， 设点，点，则，，， ， ， 轴于点， ， ， ， ，， ， ，，， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 13. 如图，将等边沿翻折得，连接交于点． 点E为边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点P，连接，若 则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作交的延长线于，通过翻折性质先得到四边形为菱形，再证得，得到，再证得，求出，再通过含30度的直角三角形性质及勾股定理得到，再通过勾股定理得到即可求解． 【详解】解：连接，作交的延长线于， ∵将等边沿翻折得， ∴， ∴四边形为菱形，， ∴，， ∵将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形证明与性质，相似三角形证明与性质，勾股定理，菱形的基本性质，翻折问题等知识点，综合程度较高，能够正确画出辅助线是解题关键． 三． 解答题 （共6小题） 14. 计算和解方程： （1） （2） 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊的三角函数值，实数的运算，以及一元二次方程的解法，熟练掌握基本运算法则是解题关键． （1）先化简特殊三角函数值，负指数次幂，零次幂和绝对值，再通过实数运算法则运算即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ． 15. 如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，得矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 16. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； （2）点C的坐标为：，的面积为6； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【小问1详解】 解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． 【小问3详解】 由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 17. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 【答案】（1）一 （2）23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）方案一中延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E，设，则，得出，根据，得出，由于的值不知，故无法求解，即可得出结论； （2）利用方案二求公馆桥的高度，延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：方案一： 延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E， 根据题意可得：，， ∴， 由题意可得四边形为矩形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由于的值不知，故无法求解， ∴方案一不能求公馆桥的高度， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：利用方案二求公馆桥的高度 延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：公馆桥的高度为23米． 18. 某商场购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价为30元，比纪念品B的单价高10元． 其中纪念品A的售价为45元，纪念品B的售价为35元． （1）经统计，6月份纪念品A的月售量为100件． 7月份，商场决定采用对纪念品A降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款纪念品每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念品降价多少元时，月销售利润达1980元？ （2）若商场计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品 A的数量不少于纪念品 B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】（1）当纪念品A降价4元或6元时，月销售利润达 1980 元 （2）当购买A纪念品267件，购买B纪念品133件时，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及不等式的应用． （1）设纪念品 A 降价x元时，月销售利润达1980元，据此列关于x的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设购买A纪念品m件，则购买B纪念品件，设总费用为w，根据提接列关于m和w的函数表式式，再由题意列关于m的不等式，得出m的取值范围，再根据一次函数的性质得出m的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：设纪念品 A 降价x元时，月销售利润达1980元， 由题意得：， 解得：，； 答：当纪念品A降价4元或6元时，月销售利润达1980元． 【小问2详解】 解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品件，设总费用为w， 由题意可得：， ∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍 ∴， 解得：， ∵总费用不超过11000元， ∴， 解得：， 综上得：， ∵， ∵ ∴w随着m的增大而增大 ∴当m取267时，总费用最少为10670元， ∴当购买A纪念品267件，购买B纪念品133件时，总费用最少． 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）； （2）由题意可得如图所示： 任务二：与的关系式是：； 任务三：（1）3； （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象， 20. 已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ． （1）如图1， 求证： （2）如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值 （3）如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ． 【答案】（1） 证明 ：∵正方形， ∴，， 又∵， ， ， ， ， ． （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，再通过角度计算即可得证； （2）延长交延长线于点，先证得，再得到，设，则 ，再过点作于，设， 则 ，，，，，得到，再算出，再通过计算即可； （3）①先通过矩形性质算出，延长交延长线于，则，得到，进而算出，再算出，设 则，算出a，再得到的长度，而则，代入数据即可求解； ②过点M作，易知且 为等腰直角三角形，设，则，设，则，得到，再通过三角函数及勾股定理算出，进而算出a，过E作 则四边形为矩形，算出与，再通过三角函数算出，则即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）可知， ， ， 延长交延长线于点， ∵ 为 中点， ， ， ， ∴ 为中点， ， ∴， 设， 则 ， 过点作于， 则， 设， 则 ，，，，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， 延长交延长线于， 则 ， ， ， ∵， ， ， ∴， ， 设 则，， ， ， 又∵ ， ， ， 而， ， ， ． 故答案为：． ②过点M作， ∵平分， 则且 为等腰直角三角形，且四边形为正方形， 由①知，， 设，则，， ，， ∴，又， ，， ， ∵ 且， ∴P、M、N共线， 过E作 则四边形为矩形， ， ， 又∵ ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形基本性质，正方形基本性质，全等三角形性质，解直角三角形等基本性质，具有一定难度，能够正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $