精品解析：重庆市巴南区实验中学教育联盟2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

K12重庆市2024-2025学年度上期一阶段质量检测 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中，，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D. 三角形 3. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 5，7，13 4. 正六边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为（ ）． A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 6. 用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ） A. 36 B. 41 C. 42 D. 46 7. 如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A. AB＝DE B. BF＝CE C. ∠A＝∠D D. ∠B＝∠E 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E为上一点，过点B作于点F，延长至G，使，连接，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题中对应位置的横线上． 11. 已知一个三角形两个内角的度数分别为和，则这个三角形按角进行分类应该为________三角形． 12. 若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是________． 13. 如果过正边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形的每个内角为________． 14. 如图，在中，点、分别是、的中点，，则＝_____． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 16. 如图，在中，，，，平分，则______________． 17. 若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 18. 若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令．若四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则________．如果是一个自然数的平方，那么M的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知E、F在AC上，ADCB，且∠D=∠B，AE=CF． 求证：DF=BE． 20. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点E．（要求：只保留作图痕迹）： （2）已知：如图，是四边形的对角线，．求证：平分． 证明： ①________ ②____________________ 又 是③____________________三角形． ④________ 又 平分． 于是我们发现，若一个四边形有一组对角均为直角，且这组对角中有一个直角的两边相等，连接这组对角的顶点，此对角线⑤__________________________． 21. 已知：如图，中，和是的角平分线，它们相交于O，过点O作于点D，若． （1）求的度数； （2）求的度数． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，在中，，，平分交AD于点D． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 24. 中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． （1）若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________． （2）若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 25. 已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿运动． （1）设点的运动时间为，当点在线段上运动时，________；当点在线段上运动时，________（用含的式子表示）； （2）当________时，； （3）如图，当点在上时，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于，连接．如果动点，都以的速度同时出发，请你猜想：在点，的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由． 26. 如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． （1）如图1，若，则________； （2）如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； （3）如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ K12重庆市2024-2025学年度上期一阶段质量检测 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：中，，， 则， 故选B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D. 三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，即可直接判断选项． 【详解】∵三角形具有稳定性，所有四边形都不具有稳定性， 选项A平行四边形、B长方形、C正方形都是四边形，都不具有稳定性，不符合题意； 只有D为三角形，具有稳定性，符合题意． 3. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 5，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断即可． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 中，，不能组成三角形； 中，，不能组成三角形； 中，，能够组成三角形； 中，，不能组成三角形． 故选：． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 4. 正六边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键． 5. 用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为（ ）． A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 设较短的边长为，则较长的边为，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：设较短的边长为，则较长的边为， 当较短的边为底边，较长的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形； 当较长的边为底边，较短的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，， ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，腰长为， 故选：D． 6. 用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ） A. 36 B. 41 C. 42 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中规律，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，即可求解， 【详解】解：由规律可知，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒， 因为图①一共6根小棒， 所以图⑧需要小木棒的根数是（根）， 故选B． 【点睛】本题考查了图形规律题，解题关键是发现图形变化规律． 7. 如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A. AB＝DE B. BF＝CE C. ∠A＝∠D D. ∠B＝∠E 【答案】A 【解析】 【分析】分别从全等三角形的判定“ASA、AAS、SAS”来添加条件，从而得出答案． 【详解】∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2， ∴若从“ASA”的判定来添加条件，可添加∠A＝∠D， 若从“AAS”的判定来添加条件，可添加∠B＝∠E， 若从“SAS”的判定来添加条件，可添加BC＝EF或BF＝EC， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，易证，结合A的坐标为，即得出，，从而可知． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵A的坐标为， ∴，， ∴． 故选B． 9. 如图，在正方形中，E为上一点，过点B作于点F，延长至G，使，连接，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质的，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理．正确作出辅主线，构造全等三角形是解题关键．过点C作于点H，易证，即得出，，，结合题意可证，即确定为等腰直角三角形，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ∴， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选A． 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义计算，整式加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，准确计算．根据新定义计算法则求出即可判断①；根据新定义计算法则求出，，，即可判断最小值为或，分类讨论求出x的值，即可判断②；根据新定义计算法则求出，，即得出规律，从而可判断③． 【详解】解：①∵， ∴，，， ∴三个数中最大的数是5，故①正确； ②∵， ∴，，， ∴中的最小值为或， ∴或， 解得：或，故②错误； ∵给定a，b，c三个数， ∴． ∵将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果， ∴， …… ∴， ∴，故③错误． 综上可知正确的有1个． 故选B． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题中对应位置的横线上． 11. 已知一个三角形两个内角的度数分别为和，则这个三角形按角进行分类应该为________三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求得第三个内角的度数，从而即可判断． 【详解】， 三角形都是锐角， 即该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 12. 若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、二元一次方程组的解法，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：解方程组， 得， ∵a，b，c是三角形的三条边， ∴， ∴， ∵周长为整数， ∴， ∴三角形的周长， 故答案为：9． 13. 如果过正边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形的每个内角为________． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，多边形的对角线，正多边形的性质．掌握从n边形的一个顶点可以引出条对角线和多边形内角和公式为是解题的关键．根据题意可得出该正多边形为正八边形，再根据多边形内角和公式和正多边形的每个内角都相等求解即可． 【详解】解：∵过正边形的一个顶点可以画出5条对角线， ∴该正多边形为边形， ∴这个多边形的每个内角为． 故答案为：135． 14. 如图，在中，点、分别是、的中点，，则＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到． 【详解】∵点为的中点，， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，平分，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题． 先根据三角形内角和定理求出，，再由角平分线求出即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 平分， ， ． 故答案为：． 17. 若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【详解】解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 18. 若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令．若四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则________．如果是一个自然数的平方，那么M的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. 2 ②. 8811 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，整式加减的应用，理解题意是解题关键．当时，判断出，，再代入求解即可；根据M为“间位等和数”可得出，，，从而可求出，结合a和c均为不为0的10以内自然数，即得出或，再分别求出最大值和最小值，作差即可． 【详解】解：∵， ∴为“间位等和数”， ∴，， ∴． ∵四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∴，，， ∴． ∵是一个自然数的平方，且a和c均为不为0的10以内自然数， ∴或． ∵求M的最大值， ∴a和b均取9， ∴，即最大值为； ∵求M的最小值， ∴a和b均取1， ∴，即最小值为， ∴M的最大值与最小值的差为． 故答案为：2，8811． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知E、F在AC上，ADCB，且∠D=∠B，AE=CF． 求证：DF=BE． 【答案】 证明：∵AE=CF， ∴AE-EF=CF-EF 即AF=CE， ∵AD∥CB， ∴∠A=∠C， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴DF=BE． 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定即可判断出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点E．（要求：只保留作图痕迹）： （2）已知：如图，是四边形的对角线，．求证：平分． 证明： ①________ ②____________________ 又 是③____________________三角形． ④________ 又 平分． 于是我们发现，若一个四边形有一组对角均为直角，且这组对角中有一个直角的两边相等，连接这组对角的顶点，此对角线⑤__________________________． 【答案】 （1）即为所求， （2）①，②，，③等腰直角，④，⑤是这个直角的角平分线 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，涉及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解决问题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据作图方法作图即可； （2）结合（1）即可完成填空，然后证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，以点A为圆心画弧，分别交、、于点M、N、，用圆规测出的长度，再以为圆心，为半径画弧交于点，； （2）证明： ， ①， ， ， ， ②，， 又 是③等腰直角三角形． ④， 又， 平分． 于是我们发现，若一个四边形有一组对角均为直角，且这组对角中有一个直角的两边相等，连接这组对角的顶点，此对角线⑤是这个直角的角平分线． 21. 已知：如图，中，和是的角平分线，它们相交于O，过点O作于点D，若． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，垂线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）由角平分线的定义可得出，由三角形内角和定理可求出，从而可求解； （2）由角平分线的定义可得出，结合三角形外角的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； （2）A种型号的电风扇最多能采购台； （3）能，采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台， 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元，根据“卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元”列方程组求解即可； （2）设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台，根据“不多于7480元的金额采购”列一元一次不等式求解即可； （3）根据“利润销售收入进货成本”列一元一次不等式，求出的取值范围，再结合（2）的结果确定的取值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元， 由题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； 【小问2详解】 解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的电风扇最多能采购台； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：， 由（2）可知，，且为正整数， 的取值为， 台， 即采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1860元的目标． 23. 如图，在中，，，平分交AD于点D． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）的面积为6 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答； （2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ 过点作，垂足为， 平分，，， ， ， 的面积， 的面积为6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24. 中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． （1）若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________． （2）若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 【答案】（1）； （2） 点P运动到边的延长线上，，理由如下， 如图，设交于点F， ∵，， ∴； 点P运动到外不成立， 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，邻补角的定义．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键． （1）由邻补角的定义可求出，由四边形内角和可求出，即得出，即可求解； （2）设交于点F，根据三角形外角性质可得出，，即得出；设交于点G，根据三角形外角性质可得出，根据邻补角的定义得出，，即得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点P运动到外不成立，如图，设交于点G， ∵，，， ∴， ∴． 25. 已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿运动． （1）设点的运动时间为，当点在线段上运动时，________；当点在线段上运动时，________（用含的式子表示）； （2）当________时，； （3）如图，当点在上时，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于，连接．如果动点，都以的速度同时出发，请你猜想：在点，的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】（1），； （2）或； （3） 和的面积相等，理由： 如图，过作于点，过作交延长线于点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由题意得， 在和中， ∴， ∴， ∴和同底等高， ∴和的面积相等． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）分当点在线段上运动时，当点在线段上运动时两种情况，然后根据面积公式即可求解； （）过作于点，过 交延长线于点，则，由是等边三角形，则，然后证明，得，最后同底等高即可求解； 【小问1详解】 解：当点在线段上运动时，，当点在线段上运动时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴每条边上的高都相等， 设等边三角形的高为，则， 当点在线段上运动时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段上运动时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴当或时，， 故答案为：或； 【小问3详解】 略 26. 如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． （1）如图1，若，则________； （2）如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； （3）如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3） ．证明如下： 如图过点作交的延长线于，则，， ， ， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，过点作于．证明，推出，，求出，可得结论． （3）如图3中，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵，都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2中，过点作于． ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $