精品解析：陕西省渭南初级中学2024—-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024～2025学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点，，，都在圆周上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线（，，，为常数）中，与的部分对应值如下表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 4 … 下列结论中，不正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知点，点Q与点P关于原点对称，则点Q的坐标是______． 10. 一元二次方程的根为_______________． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数为______． 12. 在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的矩形空地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植实验作物，已知种植实验作物的面积为171平方米，设小道的宽为x米，则根据题意可列方程为______． 13. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知二次函数的解析式是，分别判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 16. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 17. 如图，在一圆形铁片上剪下一个弓形（阴影部分），请用尺规作图法找出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，是正方形的对角线，旋转后到达的位置，点E恰好落在对角线上． （1）它的旋转中心是点_______，旋转角________°； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与对应）； （2）若与关于原点成中心对称，请写出点的对应点的坐标． 20. 随着科技和网络的不断发展，互联网已经渗透进我们生活的方方面面，网购也逐渐成为我们生活中不可或缺的一部分，为了给小区居民提供便利，某小区新增了一家快递店，第一个月揽件件，且揽件数量逐月增加，到第三个月揽件数量达到件，求该快递店揽件数量的月平均增长率． 21. 已知抛物线的对称轴是． （1）求的值； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 22. 年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以元个的价格购进一批“弗里热”纪念品，以元个的价格售出，每周可以卖出个．经过市场调查发现，吉祥物“弗里热”价格每上涨元，平均每周就少卖个．若商场计划一周销售吉祥物“弗里热”的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 23. 已知二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标． 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在等边中，，点D是线段BC上的一点，，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．求的长； 【拓展应用】 （2）如图2是一圆形景观区示意图，的半径为800米，计划搭建一个三角形舞台，点A、B在上，点C在内，，，点O为景区中心，按照设计要求，现要沿修建笔直的步行景观道，修建步行景观道的成本为200元，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求修建步行景观道的最小成本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、能找到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若是方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 4. 如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，根据旋转的性质，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，即可． 【详解】解：由旋转可知：，为旋转角， ∵点在线段的延长线上，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数为； 故选D． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，先根据关于的一元二次方程没有实数根求出的范围，再从选项里选择符合题意的即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴选项的数在此范围， 故选：． 6. 抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象关于坐标轴对称规律，二次函数的图象及性质，理解函数图象关于轴对称是将解析式中变换为是解题的关键． 【详解】解：对称后开口方向和与轴的交点坐标都没有发生改变， 抛物线关于轴对称后为 ， 故选：B． 7. 在中，点，，，都在圆周上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明四边形是菱形，然后证明，是等边三角形，得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，得出是解题的关键． 8. 抛物线（，，，为常数）中，与的部分对应值如下表： … 1 3 4 5 7 … … 4 5 4 … 下列结论中，不正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是读懂表格掌握二次函数的图象和性质． 根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴该抛物线有最大值，即抛物线开口向下， ∴四个选项中，只有D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知点，点Q与点P关于原点对称，则点Q的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】直角坐标系上一点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）． 【详解】解：∵直角坐标系上一点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形－原点对称，解题的关键是熟知直角坐标系上一点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）． 10. 一元二次方程的根为_______________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，，． ∴一元二次方程的根为3或． 故答案为：3或． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由是的直径，则，又，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的矩形空地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植实验作物，已知种植实验作物的面积为171平方米，设小道的宽为x米，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 故答案为：． 13. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质得出，，利用证明，得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵边长为1的正方形绕点逆时针旋转， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：，（负值已舍去） ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，利用全等三角形求出，是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解答即可． 【详解】解：原方程可变形为：， 配方，得， 即， ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 15. 已知二次函数的解析式是，分别判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】点在这个二次函数的图象上，点不在这个二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查二次函数的点的特征，掌握二次函数上的点的特征是解题的关键． 把，代入二次函数解析式判断即可． 【详解】解：点在这个二次函数的图象上，点不在这个二次函数的图象上， 理由： 当时，，则在这个二次函数的图象上． 当时，，则不在这个二次函数的图象上． 16. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据根的判别式判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：当时，方程有两个不相等的实数根． 17. 如图，在一圆形铁片上剪下一个弓形（阴影部分），请用尺规作图法找出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图， 【解析】 【分析】此题考查了作图能力——作垂线，垂径定理，作线段的垂直平分线即可，掌握画图方法是解题的关键． 【详解】解：、分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点； ∵，经过圆心， ∴， ∴点即为所求． 18. 如图，是正方形的对角线，旋转后到达的位置，点E恰好落在对角线上． （1）它的旋转中心是点_______，旋转角________°； （2）若，求的长． 【答案】（1）A， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键． （1）由题意可得旋转中心，由正方形，可得，由旋转的性质可知，旋转方向为逆时针，旋转角是； （3）由正方形得到性质得到，则，由旋转的性质可知，即可得到的长． 【小问1详解】 解：由题意知，旋转中心为点A； ∵四边形是正方形， ∴， ∵旋转后到达的位置，点E恰好落在对角线上． ∴由旋转的性质可知，旋转方向为逆时针，旋转角是； 故答案为：A， 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵旋转后到达的位置，点E恰好落在对角线上． ∴ ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与对应）； （2）若与关于原点成中心对称，请写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）如图， （2）． 【解析】 【分析】（）点绕点逆时针旋转，对应点为，然后连接，，即可； （）根据点关于原点成中心对称，结合中心对称的性质即可求解； 本题考查了轴对称——旋转变换，中心对称，熟练掌握轴对称性质和旋转对称性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：点绕点逆时针旋转，对应点为， 然后连接，，， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：∵与关于原点成中心对称，， ∴． 20. 随着科技和网络的不断发展，互联网已经渗透进我们生活的方方面面，网购也逐渐成为我们生活中不可或缺的一部分，为了给小区居民提供便利，某小区新增了一家快递店，第一个月揽件件，且揽件数量逐月增加，到第三个月揽件数量达到件，求该快递店揽件数量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到等量关系是解题的关键． 设该快递店揽件数量的月平均增长率为，第一个月揽件件，且揽件数量逐月增加，到第三个月揽件数量达到件，据此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该快递店揽件数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为 ， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该快递店揽件数量的月平均增长率为． 21. 已知抛物线的对称轴是． （1）求的值； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）根据对称轴是，即可得出结果； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵将该抛物线向右平移个单位长度， ∴新的抛物线的解析式为：． 把代入，得：， 解得：（负值舍去）． 22. 年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以元个的价格购进一批“弗里热”纪念品，以元个的价格售出，每周可以卖出个．经过市场调查发现，吉祥物“弗里热”价格每上涨元，平均每周就少卖个．若商场计划一周销售吉祥物“弗里热”的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】售价应定为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到元，列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设售价应定为元， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵更大优惠让利消费者， ∴， 答：售价应定为元． 23. 已知二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）点． 【解析】 【分析】（）把，代入中，解方程即可得到结论； （）在中，当时，，则，设直线的解析式为，直线的解析式为，然后求出对称轴代入即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数，一次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入中，得 解得， ∴，； 【小问2详解】 由（）得：，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， ∴抛物线对称轴为， 当时，， ∴点． 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 25. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线解析式； （1）由题可得抛物线的顶点坐标为，经过，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，将代入计算，即可求解； （2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度米，即可求解； 能根据题意找出顶点坐标，掌握抛物线的顶点式，理解、的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物线为， 把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得 当时， ， 球不能射进球门． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在等边中，，点D是线段BC上的一点，，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．求的长； 【拓展应用】 （2）如图2是一圆形景观区示意图，的半径为800米，计划搭建一个三角形舞台，点A、B在上，点C在内，，，点O为景区中心，按照设计要求，现要沿修建笔直的步行景观道，修建步行景观道的成本为200元，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求修建步行景观道的最小成本． 【答案】（1）2；（2）修建步行景观道的最小成本为元 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后由旋转的性质证明，可进行求解； （2）连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，由旋转的性质得到是直角三角形，利用勾股定理求出，根据三角形万变关系及两点之间线段最短求出有最小值，即为最小值，即可解答． 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，， ， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ，， ， ∴， ， ∴； （2）如图，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，， ∵，即， 由旋转可得，，， ∴， ∴在中，，， ∴在中，， 当三点共线时，有最小值， 即的最小值是， ∴修建步行景观道的最小成本为（元）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系的应用，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质及旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $