精品解析：重庆市重庆复旦中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 高2027届数学试题 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故选：C 2. 若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 3. 集合有（ ）个非空子集. A. 512 B. 511 C. 1024 D. 1023 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合A中含有的元素个数，即可求得答案. 【详解】集合含有10个元素， 故其有个非空子集， 故选：D 4. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出不等式的解，逐个选项判断，即可得答案. 【详解】解，即，即， 即，解得或， 由于，均推不出或，故A，B选项不合题意； C中条件和“”等价，不合题意， 时，一定有或成立，反之不成立， 故是“”的一个充分不必要条件， 故选：D 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 8. 已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 所以，， 所以，可化为， 因为在R上是减函数，所以， 所以问题转化为，使成立，即，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，取得最大值， 所以，即. 故选：B. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空集的性质判断A，根据补集的定义及元素与集合的关系判断B，根据空集的定义判断C，根据集合相等的定义判断D. 【详解】因为是任何集合的子集，所以，A正确； 因为为无理数，又表示无理数的集合，所以，B正确； 是一个元素，为不含任何元素的集合，C错误； 集合与集合的元素相同，所以，D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数与函数是相同函数 C. 函数的单调减区间是 D. 若，则的最小值是8 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例说明A是错误的；求两个函数的定义域，判断B的真假；辨析函数单调区间的写法说明C是错误的；利用基本（均值）不等式求的最小值，判断D的真假. 【详解】对A：令，，则满足，但不满足，故A错误； 对B：由，由，所以两个函数的定义域都是，且此时，与解析式相同，所以它们表示同一个函数，故B正确； 对C：函数的单调减区间是，，两个单调区间不能用“”连接，故C错误； 对D：由， 又因为（当且仅当时取“”） 所以（当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：BD 11. 不等式（其中）的解集可以是（ ） A. 且 B. C. D. 或或 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，时满足要求；B选项，时满足要求；C选项，满足要求；D选项，由于解集中出现了，故，由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 【详解】A选项，若，， 由穿针引线法可知，不等式解集为且，A正确； B选项，当时，，解得，B正确； C选项，当时，，解集为，C正确； D选项，由于解集中出现了，故， 此时， 由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12. 已知函数满足：，则_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知条件可得到关于的方程组，由此可解得的解析式，再令，即可求得. 【详解】由已知可得，，解得， 则. 故答案为：；. 13. 国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有_______人． 【答案】 【解析】 【分析】设只想报名物理选修课的同学有人，求得同时想报名语文和物理选修课的有人，只想报名语文选修课的同学有人，只想报名数学选修课的同学有人，由题意画出Venn图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解. 【详解】设只想报名物理选修课的同学有人， 因为有人想报名物理类选修课， 所以同时想报名语文和物理选修课的有人， 因为有21人想报名语文类选修课， 则只想报名语文选修课的同学有人， 因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人， 同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有人， 又没有三类选修课都想报名的同学， 由题意画出Venn图，如图所示： 因为该班共45名同学， 所以，解得， 所以只想报名物理选修课的同学有人. 故答案为：. 14. 已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题：本小题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解； （2）根据补集和交集的概念，即可求解. 【小问1详解】 集合，， 不等式，即，解得，集合， 所以，. 【小问2详解】 ，则， 所以. 16. 已知函数的解析式为 （1）求，的值； （2）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （3）解不等式. 【答案】（1），； （2），最大值为4 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；（2）根据图象最高点即可写出最大值；（3）对范围讨论，解出之后求并集即可. 【小问1详解】 由已知得，，， 则 【小问2详解】 由图象可知，最大值为4. 【小问3详解】 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以. 综上所述，或 不等式的解集为或. 17. 已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． （1）求函数的解析式； （2）求解关于的不等式，其中为实数． 【答案】（1）； （2）当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）由条件可设其解析式为，再由条件求可得结论； （2）不等式可化为，分别在，，条件下求不等式的解集. 【小问1详解】 因为， 所以二次函数的图象为对称轴为的抛物线， 因为在上的值域为， 所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为， 所以可设其解析式为，且， 因为二次函数的图象过坐标原点， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 不等式， 可化为，即， 当时，或， 当时，， 当时，或， 所以当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 18. 已知函数 （1）求实数a值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增，证明：， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）增区间是，单调递减区间是和 【解析】 【分析】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【小问1详解】 由条件可知，，得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 19. 对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”. （1）求函数的“最美区间”； （2）若存在最美区间函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，，结合在上单调递增，得到，，求出，，得到答案； （2）根据在上单调递增，得到，转化为为方程在上两个不等的实根，且，换元后结合二次函数的图象，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，在上的值域为，故， 因为，所以， 故在上单调递增， 所以，即，解得或0（舍去），所以， 同理，解得或1（舍去）， 综上，的“最美区间”是； 【小问2详解】 令，解得， 故的定义域为， 且在上单调递增， 故，， 即为方程在上两个不等的实根，且， 所以，令， 所以在上有两个不等实跟， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 故实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 高2027届数学试题 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 集合有（ ）个非空子集. A. 512 B. 511 C. 1024 D. 1023 4. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数与函数是相同函数 C. 函数的单调减区间是 D. 若，则的最小值是8 11. 不等式（其中）的解集可以是（ ） A. 且 B. C. D. 或或 三、填空题：本题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12. 已知函数满足：，则_______；_______. 13. 国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有_______人． 14. 已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本小题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）求． 16. 已知函数的解析式为 （1）求，的值； （2）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （3）解不等式. 17. 已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． （1）求函数的解析式； （2）求解关于的不等式，其中为实数． 18. 已知函数 （1）求实数a值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求函数的单调区间． 19. 对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”. （1）求函数的“最美区间”； （2）若存在最美区间函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $