精品解析：湖南省邵阳市 新宁县新宁县十校2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024年下学期期中考试九年级数学试题 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断点是否在给出的反比例函数的图象上，将各点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为， ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A 2. 若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜﹣2 C. m＞2 D. m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围． 【详解】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2． 故选B． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案． 【详解】解：x（5x-2）=0， x=0或5x-2=0， 所以或． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 4. 已知，那么下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3， ∴3a=2b， A：由以上解释易知A选项错误，不符题意； B：，即，故错误，不符题意； C： ，即，故正确，符合题意； D：，即3a=4b，故错误，不符题意； 故选C． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键． 5. 一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 6. 如图，以点为位似中心，将缩小后得，已知，则与的面积比为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，“如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心”．根据位似变换的性质得到，，，求出与的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比． 【详解】解：由位似变换的性质可知，，，， ， ， ， ， 与的相似比为， 与的面积的比， 故选：D． 7. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：A． 8. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 9. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 设相邻两平行线间的距离为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：设点， 则, ∵， ∴， ∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入方程中求出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 13. 以3，﹣2为两根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式是___________________． 【答案】x2﹣x﹣6＝0（答案不唯一） 【解析】 【分析】设满足题意的一元二次方程为ax2＋bx＋c＝0，利用根与系数的关系可得出﹣＝1，＝﹣6，代入a＝1可求出b，c的值，进而可得出满足题意的一元二次方程可以为x2﹣x﹣6＝0． 【详解】解：设满足题意的一元二次方程为ax2＋bx＋c＝0 ． ∵方程的两个根分别为3和﹣2， ∴﹣＝3＋（﹣2）＝1，＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴当a＝1时，b＝﹣1，c＝﹣6， ∴满足题意的一元二次方程可以为x2﹣x﹣6＝0． 故答案为：x2﹣x﹣6＝0（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为 ，则 是解题的关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于 _____ ． 【答案】． 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的意义直接得出答案． 【详解】解：在中， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是正确解答的关键． 15. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是___________．（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数二、四象限均有随的增大而增大 ∵ ∴ 即： 故答案为：． 16. 已知为的三边，且，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为的三边，可得，进而得到． 【详解】解：∵， ∴，，， 可得， ∴， ∵a、b、c为的三边， ∴， ∴． 故答案为：1． 17. 在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得，再通过证明得到相似比，代入即可得到的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：3． 18. 如图，在中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 根据平行四边形对角线的性质，得到，，中根据勾股定理得， 中利用勾股定理得，利用线段垂直平分线的性质得，推出周长等于即可． 【详解】∵中， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴故答案为：． 三、解答题：共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，绝对值，然后从左向右依次计算，求解计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 如图，，且，求证：． 【答案】 证明： ， ． 又， ，即， ∴． 【解析】 【分析】由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 21. 我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次． （1）求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件．2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？ 【答案】（1）该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每件售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当每件售价定为元时，店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵让顾客获得最大优惠， ∴． 答：当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额． 22. 如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：） 【答案】摩天轮的高度约为131 米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角，坡度的问题，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 延长至E，作于D，解求出，再解即可． 【详解】解：延长至E，作于D， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴米． 答：摩天轮MN的高度约为131 米． 23. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 【答案】（1）y=x+，y=； （2）△AOB的面积为； （3）1<x<3 【解析】 【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解； （3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2， ∴双曲线的表达式为： y=， 把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得： y=，解得：， ∴直线的表达式为：y=x+； 【小问2详解】 解：联立 ， 解得，或， ∵点A 的坐标为（1，2）， ∴点B的坐标为（3，）， ∵ =， ∴△AOB的面积为； 【小问3详解】 解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积． 24. 如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 （1）求函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，勾股定理： （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，则，可得；当时，设，则，，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则， ∵， ∴； 当时，设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 25. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， ； （4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）略 （3）图略，将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 26. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 【答案】（1）5 （2） ①证明：由题意知， ∴， ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ②证明：由①得， 又∵，， ∴， 设的面积为． ∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积； （2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论． 【小问1详解】 解：∵，点M是边AB的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∴正方形EFGH的面积为5． 【小问2详解】 解：①略 ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中考试九年级数学试题 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜﹣2 C. m＞2 D. m＜2 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 4. 已知，那么下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. ． 5. 一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以点为位似中心，将缩小后得，已知，则与的面积比为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为______． 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 13. 以3，﹣2为两根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式是___________________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于 _____ ． 15. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是___________．（用“>”连接） 16. 已知为的三边，且，则__________． 17. 在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么______． 18. 如图，在中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 __________． 三、解答题：共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 如图，，且，求证：． 21. 我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次． （1）求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件．2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？ 22. 如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：） 23. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 24. 如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 （1）求函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 25. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 26. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $