第1章一元二次方程 检测卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•玄武区校级月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（　　） A．xy﹣x＝12 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣3＝0 D．x2+2y+1＝0 2．（2024•息县模拟）若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 3．（2024秋•洪山区校级月考）若一元二次方程2x2﹣6x＝9的常数项是9，则二次项系数、一次项系数分别为（　　） A．2，﹣6 B．﹣2，6 C．2，6 D．﹣2，﹣6 4．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•永城市期末）“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 6．（2024秋•翁牛特旗校级月考）某市从2020年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2020年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2022年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 7．（2024秋•农安县期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 8．（2024秋•阿荣旗校级月考）在毕业典礼上，每位同学互赠一张签名卡，签名卡恰好用了2304张，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 二．填空题（共6小题） 9．（2024•雁塔区校级一模）一元二次方程x2＝3x的根是 　 　． 10．（2024•莱芜区模拟）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 11．（2024秋•洪山区校级月考）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，第三个月进馆662人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为 　 　． 12．（2024秋•锡山区校级月考）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示．当批发商在进货后第 　 　天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 13．（2024秋•秦安县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　； （2）求的值； （3）求的值． 14．（2024秋•七星关区校级月考）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程 　 　． 三．解答题（共7小题） 15．（2024秋•蓬江区校级期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）x（x﹣2）＝3（x﹣2）． 16．（2024秋•襄汾县校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x﹣k﹣5＝0，求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． 17．（2024秋•南海区校级月考）欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率． 18．（2024秋•南海区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0． （1）当m＝1时，判断方程根的情况； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 19．（2024秋•襄汾县校级月考）2024巴黎奥运会吉祥物“Phryge”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． （1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为　 　个； （2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 20．（2024秋•成华区校级月考）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60m长的墙的材料． （1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2； （2）能否围成500m2的矩形花园？请通过计算说明理由． 21．（2024秋•龙华区校级月考）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为x＝a的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单． 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，第一步，因式分解：x（x2+2x﹣3）＝0，第二步，转化为两个方程：　 　或 　 　，第三步，解得：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）问题：将小军求解一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0过程中的第二步补充完整为 　 　或 　 　； （2）类比：方程2x3+10x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ 　 　，x3＝ 　 　； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小明把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求DP的长． 第1章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•玄武区校级月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（　　） A．xy﹣x＝12 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣3＝0 D．x2+2y+1＝0 【解答】解：A．xy﹣x＝12中有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．ax2+bx+c＝0中有1个未知数，当a＝0时，未知数的最高次数是一次，不一定是一元二次方程，不符合题意； C．x2﹣3＝0中有1个未知数，且未知数的最高次数是二次，是一元二次方程，符合题意； D．x2+2y+1＝0中有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 2．（2024•息县模拟）若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选：D． 3．（2024秋•洪山区校级月考）若一元二次方程2x2﹣6x＝9的常数项是9，则二次项系数、一次项系数分别为（　　） A．2，﹣6 B．﹣2，6 C．2，6 D．﹣2，﹣6 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程2x2﹣6x＝9的常数项是9， 所以将所给一元二次方程变形为：﹣2x2+6x+9＝0， 所以二次项系数、一次项系数分别为：﹣2，6． 故选：B． 4．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0， ∴k≤﹣． 故选：D． 5．（2023秋•永城市期末）“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 【解答】解：根据题意得：690（1+x）2＝1166． 故选：A． 6．（2024秋•翁牛特旗校级月考）某市从2020年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2020年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2022年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【解答】解：设该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x， 依题意得：4（1+x）2＝5.76， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ∴该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选：C． 7．（2024秋•农安县期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【解答】解：根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570， 故选：A． 8．（2024秋•阿荣旗校级月考）在毕业典礼上，每位同学互赠一张签名卡，签名卡恰好用了2304张，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 【解答】解：∵每位同学互赠一张签名卡，签名卡恰好用了2304张，设班级有x名学生， ∴x（x﹣1）＝2304， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•雁塔区校级一模）一元二次方程x2＝3x的根是 　x1＝0，x2＝3　． 【解答】解：原方程可化为x2﹣3x＝0， x（ x﹣3）＝0， x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 10．（2024•莱芜区模拟）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＞﹣且m≠0　． 【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝12+4m＞0， 解得m＞﹣； 所以m的取值范围为：m＞﹣且m≠0． 故答案为：m＞﹣且m≠0． 11．（2024秋•洪山区校级月考）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，第三个月进馆662人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为 　200（1+x）2＝662　． 【解答】解：设进馆人次的月增长率为x， 由第三个月进馆662人次得，200（1+x）2＝662， 故答案为：200（1+x）2＝662． 12．（2024秋•锡山区校级月考）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示．当批发商在进货后第 　4或32　天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 【解答】解：当0≤x≤20，设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，100），（20，160）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y＝3x+100； 当20＜x≤40时，y＝160， ∴y与x之间的函数解析式为y＝． 当0≤x≤20时，（3x+100﹣70）（1000﹣15x）﹣300x＝37500， 化简得：3x2﹣150x+500＝0， 解得：x1＝（不符合题意，舍去），x2＝≈4； 当20＜x≤40时，（160﹣70）（1000﹣15x）﹣300x＝37500， 解得：x＝≈32． ∴当批发商在进货后第4或32天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 故答案为：4或32． 13．（2024秋•秦安县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　p　，x1x2＝ 　1　； （2）求的值； （3）求的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴，， 故答案为：p，1； （2）由（1）可知：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴； （3）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝p2﹣2． 14．（2024秋•七星关区校级月考）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程 　90%（2+2x）（1+2x）＝2×1　． 【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米， 根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1． 故答案为：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1． 三．解答题（共7小题） 15．（2024秋•蓬江区校级期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）x（x﹣2）＝3（x﹣2）． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， ∴x2﹣4x+4＝7， ∴（x﹣2）2＝7， ∴， 解得：； （2）x（x﹣2）＝3（x﹣2）， ∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 16．（2024秋•襄汾县校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x﹣k﹣5＝0，求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． 【解答】证明：∵a＝1，b＝﹣（k+4），c＝﹣k﹣5， ∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（﹣k﹣5） ＝k2+12k+36 ＝（k+6）2， ∵（k+6）2≥0， ∴该方程总有实数根． 17．（2024秋•南海区校级月考）欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率． 【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为（100﹣x﹣50）元，每天可出售（40+2x）件， 依题意得：（100﹣x﹣50）（40+2x）＝2400， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵要使顾客得到更大的优惠， ∴x＝20． 答：每件应降价20元． （2）设每次降价的百分率均为y， 依题意得：100（1﹣y）2＝81， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：降价的百分率为10%． 18．（2024秋•南海区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0． （1）当m＝1时，判断方程根的情况； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【解答】解：（1）当m＝1时，x2﹣2x+3＝0， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0， ∴方程无实数根； （2）由题可得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×3＝4m2﹣12≥0，即m2≥3， 由根与系数的关系可知：x1+x2＝2m， ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得m＝3． 19．（2024秋•襄汾县校级月考）2024巴黎奥运会吉祥物“Phryge”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． （1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为　39　个； （2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 【解答】解：（1）由题意可得：30+（35﹣32）×3＝39（个）； 故答案为：39； （2）设每件商品应降价x元， 依题意得，（35﹣x﹣20）（30+3x）＝450， 整理得，x2﹣5x＝0， 解得，x＝5或x＝0， ∵为扩大销售，该商店准备适当降价出售， ∴x＝0不符合题意； ∴当平均每天的利润为450元，则每个玩偶售价为30元． 20．（2024秋•成华区校级月考）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60m长的墙的材料． （1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2； （2）能否围成500m2的矩形花园？请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）设BC＝x m，则m， 依题意得：， 整理得：x2﹣62x+600＝0， 解得：x1＝12，x2＝50， 又∵墙EF最长可利用28m， ∴x＝12， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300m2； （2）不能围成面积为500m2的矩形花园，理由如下： 设BC＝ym，则m， 依题意得：， 整理得：y2﹣62y+1000＝0，Δ＝622﹣4×1000＝﹣156＜0，方程无解， 不能围成面积为500m2的矩形花园， 答：不能围成面积为500m2的矩形花园． 21．（2024秋•龙华区校级月考）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为x＝a的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单． 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，第一步，因式分解：x（x2+2x﹣3）＝0，第二步，转化为两个方程：　x＝0　或 　x2+2x﹣3＝0　，第三步，解得：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）问题：将小军求解一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0过程中的第二步补充完整为 　x＝0　或 　x2+2x﹣3＝0　； （2）类比：方程2x3+10x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ 　1　，x3＝ 　﹣6　； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小明把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求DP的长． 【解答】解：（1）x＝0是一元一次方程，x2+2x﹣3＝0是一元二次方程， 故答案为：x＝0，x2+2x﹣3＝0； （2）原方程转化为：2x（x2+5x﹣6）＝0， ∴2x＝0，x2+5x﹣6＝0， ∴x1＝0， ∵x2+5x﹣6＝（x﹣1）（x+6）＝0， ∴x﹣1＝0，x+6＝0， ∴x2＝1，x3＝﹣6， 故答案为：1，﹣6； （3）， 由②得，x＝y+3③， 把③代入①整理得：y2+3y﹣4＝0， ∴（y﹣1）（y+4）＝0， 解得，y1＝1，y2＝﹣4， ∴x1＝y+3＝1+3＝4，x2＝y+3＝﹣4+3＝﹣1， ∴原方程组的解为； （4）设AP＝x m，则DP＝（21﹣x）m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝8m， 在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，即BP2＝82+x2，则， 在Rt△CDP中，CD2+DP2＝CP2，即CP2＝82+（21﹣x）2，则， ∵BP+CP＝27， ， 等式两边同时平方得整理得：， 等式两边同时平方，整理得：x2﹣21x+90＝0， 解得x1＝15，x2＝6， ∴AP＝15m或AP＝6m，则对应的PD＝21﹣15＝6m或PD＝21﹣6＝15m， ∵AP＞PD， ∴AP＝15m，PD＝6m， ∴DP的长为6m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$