精品解析：重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 6. 设函数，已知在上有且仅有个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知命题p：，，则命题p的否定为， D. 定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当有且仅有3个零点时，的取值范围是 C. 若直线与曲线有3个不同的交点，且，则 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______． 14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、是方程的两个实数根. （1）求实数的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）求∠B的值； （2）已知D在边AC上，且，，求△ABC面积的最大值. 18. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． （1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； （2）当时，求能正常工作的设备数的分布列； （3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解. 【详解】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立； 当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立； 所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求出，再由化简后可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B 3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质求解． 【详解】 ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“分段法”，结合零点存在性定理确定正确选项. 【详解】，且，故，，即. 因为在R上单调递增，且，， 所以，所以. 故选：B 5. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 6. 设函数，已知在上有且仅有个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，由得到， 结合正弦函数图象及极值点个数得到，求出答案. 【详解】 ， 当时，， 令，则， 作出函数（，）的图象如图所示， 由于函数在上有且仅有个极值点， 则，解得. 故选：C 7. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围． 【详解】，设， 函数在区间上有极值， 在上有变号零点，即在上有解， 令，由可得，即， 得到，解得： ． 故选：． 8. 已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知命题p：，，则命题p的否定为， D. 定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，两函数定义域不同；B选项，令，求出，得到函数定义域；C选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D选项，根据函数为偶函数得到，故，得到函数周期. 【详解】A选项，的定义域为R，令，解得， 故的定义域为，定义域不同，A错误； B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确； C选项，命题p的否定为，，C正确； D选项，为偶函数，故，又， 故，则函数的周期为2，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质逐一判断选项即可. 【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确； ∵，∴，又在上不单调，故B错误； ∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确； 令，得，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当有且仅有3个零点时，的取值范围是 C. 若直线与曲线有3个不同的交点，且，则 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A根据导函数及可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对称中心可得；选项D，先求过点的切线方程，将切线个数转化为与图象交点个数，进而可得. 【详解】选项A：由题意可得， 令解得或， 因为，所以令解得或，令解得， 故在区间或上单调递增，在上单调递减，故A错误， 选项B：要使有且仅有3个零点时，只需即，解得，故B正确； 选项C：若直线与曲线有3个不同的交点，且， 则点是三次函数的对称中心， 设，则， 令，得，故的对称中心为，，故C正确； 选项D：，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得， 令， 过点可以作曲线的切线条数可转化为与图象交点个数， ， 因为，所以得或，得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 且，，图象如图所示， 所以当时，与图象有3个交点， 即过点可以作曲线的3条切线，故D正确， 故选：BCD 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用正切和角公式得到，从而代入求出答案. 【详解】因为，所以，即， 即， 因此. 故答案为：2. 13. 定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据性质①②可知，为奇函数且函数图像关于对称，即可得到结果. 【详解】因为，即满足性质① 又因为， ，且 所以，即满足性质② 故答案为: 14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得，根据锐角三角形性质可得取值范围，从而得的取值范围，代入化简即可得出结论. 【详解】三倍角公式： ， 因为， 所以. 故，△ABC为锐角三角形，故解得， 故，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、是方程的两个实数根. （1）求实数的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案. （2）先求得，然后利用二倍角公式求得. 【小问1详解】 因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得， 由， 则， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以， 因为 ， 所以，，， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【小问1详解】 当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）求∠B的值； （2）已知D在边AC上，且，，求△ABC面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，从而可求. （2）利用向量可得，平方后结合基本不等式可得，从而可求面积的最大值. 【小问1详解】 ，由三角形正弦定理可得 即，， ， ， 故， 是的内角， ，，而为三角形内角， . 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以，故， 由基本不等式可得，故， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为 18. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． （1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； （2）当时，求能正常工作的设备数的分布列； （3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【答案】（1）0.8 （2） 的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （3） 设方案1､方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8， 可知计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”， 计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2． 【解析】 【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值； （2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列； （3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策. 【小问1详解】 要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为， 则， 解得，故的最小值为0.8． 【小问2详解】 设为正常工作的设备数，由题意可知，， ， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 【小问3详解】 略 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由： 当时，（）， 则 当时， ，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）不存在，理由： 的定义域为，， 假设存在 使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（ ），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在 使的极值差比系数为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $