精品解析：广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的. 1. 已知集合,,则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 5. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. 14 6. 若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 给出下列四个命题，其中正确命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，则的取值范围的取值范围是． D. 函数的值域为． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知集合，若，则实数______ 13. 函数的单调递增区间是_____． 14. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合，，. （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 18. 在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用老师要求同学们准备了一张周长为的矩形纸片（其中），将沿向折叠，折过去后交于点.如果在保持矩形周长不变且折过去后交于点的情况下，适度改变的长度，问：的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由. 19. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的. 1. 已知集合,,则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据韦恩图，阴影部分表示的集合为，即可求解. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选:A. 【点睛】本题考查集合的表示，以及集合的运算，属于基础题. 2. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为，而在上单调递减， 故不在定义域上单调，B错误； C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确. 故选：D 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，且，即可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 5. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】应用分段函数求函数值即可. 【详解】根据题意，有，而，故， 故选:C. 6. 若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可. 【详解】解：由题得对任意恒成立， (当且仅当时等号成立) 所以. 故选：A 7. 已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断出在上单调递增，再由函数在上为偶函数，得到，将代入解题即可. 【详解】因为对任意的满足，所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，且 ， 所以，所以，解得或. 故选：C 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 给出下列四个命题，其中正确命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断答案. 【详解】对A，若，显然满足，但不成立，错误； 对B，由可知，于是，正确； 对C，若a=0，b=-1，显然不满足题意，错误； 对D，由，正确. 故选：BD. 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，则的取值范围的取值范围是． D. 函数的值域为． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数定义域及解析式判断A,应用充分不必要定义判断B,应用不等式的性质计算判断C,换元法计算二次函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足，满足的数一定满足， 故B不符合题意. 对于C：因为，，又，则，所以 ，所以，所以的取值范围的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，因为，， 所以，即函数的值域为，故D错误； 故选：AC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】， 由二次函数的性质可得当时，单调递增区间是； 当时，单调递增区间是， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合，，. （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）,， （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得，从而列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为集合，， 所以，，. 【小问2详解】 当且仅当，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）最大值为，最小值为6. 【解析】 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 函数，因为， 所以，则. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解. （2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 二次函数，则 ，而，于是，， 解得，则，又，解得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式 令，则，由， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用老师要求同学们准备了一张周长为的矩形纸片（其中），将沿向折叠，折过去后交于点.如果在保持矩形周长不变且折过去后交于点的情况下，适度改变的长度，问：的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由. 【答案】时，取最大面积为 【解析】 【分析】设，，进而得到，利用三角形面积公式及基本不等式求的面积的最值． 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设， 则， 设， 因为，， 所以， 则，， 又为直角三角形， 则， 所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 此时， 满足， 故时，取最大面积， 即的面积存在最大值，且最大值为． 19. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $