2024-2025学年人教版九年级上册 数学期末练习卷

2024-2025学年 九年级上册人教版数学期末测评练习卷 一、单选题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（    ） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 6．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（    ） A．或2 B． C．2 D． 7．如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为 ． 10．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    11．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 12．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    13．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °． 14．一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球， 摇匀后每次随机从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回袋中， 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为 个． 15．如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 三、解答题 17．解方程：x2－2x－3＝0 18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. (1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. (2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出． 20．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 21．为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________； (2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率． 22．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 23．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 24．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 25．一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； (2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B A A B C C 1．B 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 3．B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 4．A 【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数， 只能是1与3的和， 即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3， ， 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5， ， 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7， ， 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10， 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9， 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键． 5．A 【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m>−1且m≠0， ∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴m=2或−1， ∵m>−1， ∴m=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，． 6．B 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：函数向右平移3个单位，得：； 再向上平移1个单位，得：+1， ∵得到的抛物线正好经过坐标原点 ∴+1即 解得：或 ∵抛物线的对称轴在轴右侧 ∴＞0 ∴＜0 ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7．C 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . . 故①正确. 是关于二次函数对称轴对称， . 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，   . 故②正确. 图象与轴交于点， ，. . . 故③正确. ， . 当时，， . ， ， . 故④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点. 8．C 【分析】先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则 过点A作于D，设，则 由勾股定理得： 则，即 解得，即 又 即 解得 则内切圆的半径为 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，读懂题意，正确画出图形，并求出AD的长是解题关键． 9． 【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键． 【详解】解：抛物线， 顶点坐标为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：，整理得：； 故答案为：． 11． 【分析】令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与y轴的交点，横坐标为0． 12．10 【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10．    【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 13．120 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 14．15 【分析】根据口袋中有10个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可. 【详解】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有10个白球 假设有x个红球， 则 解得：x=15 ∴口袋中有红球约为15个 故答案为：15 【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键． 15． 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案． 【详解】∵等腰直角三角形中，， ∴AC=AB=，∠B=∠C=45°， ∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==， 故答案为： 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键． 16． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵抛物线与轴交于、两点， 令即， 解得或， ， ， ∵， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 故是的中位线， ， 最大，即最大， 即、、三点共线，且点在之间时，最大， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 故方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 18．(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 19．(1)见解析，点， (2)见解析 【分析】（1）根据平移前后C点坐标和的坐标可画出图形，进而得到坐标即可． （2）将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转得到对应点，连接即可． 【详解】（1）.解：由和可知其平移规律为向右平移5个单位长度，向下平移5个单位长度，如图所示即为所求，点，． （2）解：如图即为所求． 【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键． 20．(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析； (2)； 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， ∴两张卡片上的数字是2和3的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键． 22．(1)y关于x的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 23．(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 24．【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】BD＝2OF，理由见解析； 【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论； 【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出； 【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证． 【详解】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OE， 设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4）， ∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x， 在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2， ∴， 解得：x＝， ∴AF＝cm． 【探究】BD＝2OF， 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA， ∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°， ∴∠ABD+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∴∠OHE＝∠ODB， ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF＝∠HEF， ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA）， ∴EO＝EH，FO＝FH， ∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB， ∴△EOH≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OH＝2OF． 【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 25．(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【详解】（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个， 所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为， 故答案为：； （2）树状图如下：   由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 26．(1) (2)1 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； （2）解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$