2024-2025学年人教版九年级上册数学期末复习卷

2024-2025学年九年级上册数学期末素养测评 （人教版） 一、单选题 1．已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（ ） A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（    ） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 3．如图，是的直径，点C、D在上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是　　 A． B． C． D． 5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 6．已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 7．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．54° 二、填空题 9．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 10．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ． 11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），则拋物线的对称轴是 ． 12．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可） 13．如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为 ． 14．从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ． 15．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    16．如图，中，，则的最大值是 ． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 18．党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率． (2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)将向左平移5个单位，再向上平移1个单位，画出平移后的； (2)画出将绕原点按顺时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标． 20．如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A．不可能     B．必然     C．随机 (2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 22．如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． (1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． (2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点A（-1，1），B（2，2）．过点B作轴，交抛物线于点C，交y轴于点D． (1)求此抛物线对应的函数解析式及点C的坐标； (2)若抛物线上存在点M，使得的面积为，求出点M的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D B C A 1．A 【详解】试题分析：根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答． 解：如图，根据旋转的性质可知， OB1=OB=1，A1B1=AB=2， 可知点A1的坐标是（﹣2，1）， 故选A． 考点：坐标与图形变化-旋转． 2．D 【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解； 【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线， 故选择：D 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键． 3．B 【分析】连接BC，如图，利用是直径和三角形的内角和可得出的度数，再利用圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质，关键是利用是直径得出． 4．B 【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°， 所以黄区域所占的面积比例为， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是， 故选B． 【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 5．D 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6．B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 7．C 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 8．A 【详解】解：如图，连接DF、BF． ∵FE⊥AB，AE=EB， ∴FA=FB， ∵AF=2AE， ∴AF=AB=FB， ∴△AFB是等边三角形， ∵AF=AD=AB， ∴点A是△DBF的外接圆的圆心， ∴∠FDB=∠FAB=30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠FAD=∠FBC， ∴△FAD≌△FBC， ∴∠ADF=∠FCB=15°， ∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°． 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性质，此题是一道综合题目，解决此题的关键是合理的推理正确的计算． 9． 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 10．20% 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 11．直线x=1 【详解】试题分析：已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的对称轴是直线x=，根据以上知识点求出即可． 解；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴拋物线的对称轴是直线x==1． 故答案为直线x=1． 考点：抛物线与x轴的交点． 12．60或120或180或240或300（写出一个即可） 【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得． 【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 13． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三角形的周长．理解题意求出一段弧的长度是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵半径都为的长， ∴这三段弧的长度相等， ∴每段弧的长度为：， ∴圆弧三角形的周长为， 故答案为：． 14． 【分析】列表得出所有等可能结果，利用概率公式求解可得． 【详解】解：列表得， 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女）     （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） ∵所有等可能的情况有12种，其中所选出的2名学生中至少有1名女生的有10种， ∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15． 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 16． 【分析】过点作，交延长线于点，设，先利用直角三角形的性质、勾股定理可得，再设，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，利用方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， 设， 在中，，， ，， 设，则， ， 在中，，即， 整理得：， 这个关于的一元二次方程有实数根， 此方程根的判别式，即， 解一元二次方程得：， 由二次函数的性质可知，当时，， 又， ， 的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式等知识点，正确将所求问题转化为一元二次方程问题是解题关键． 17．（1）；（2） 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 18．(1) (2)将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【详解】（1）每天销售量的平均增长率为，根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴ ∵ ∴当时，                                                          ∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）如图所示，即为所求；    ∴． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．   ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 21．(1)C (2) 【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题； （2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题． 【详解】（1）解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件； 故答案为：C； （2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示： 它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，则， 则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22．4m 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 25．(1) (2) 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； （2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 26．(1)， (2)，，， 【分析】（1）将，代入求出抛物线的函数表达式，由于轴，设得出方程即可得出结论． （2）设 边 上的高为 ,求得 ，点即为抛物线上到的距离为2的点，于是得到点的纵坐标为0或4，令 或令 解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入得： 解得故抛物线的函数解析式为． ∵轴，设．， 解得：或． ∵， ∴． （2）设边 上的高为h ∵ ∴ ∴，点M即为抛物线上到 的距离为2的点 ∴M的纵坐标为0或4 令，解得：， ∴，． 令 解得：， ∴， 综上所述： M点的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练二次函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$