第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2．（2024春•东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 3．（2023秋•昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF 4．（2023秋•宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 5．（2024秋•浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2024秋•新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（　　） A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4 7．（2024秋•汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024•珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 　 　． 10．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是　 　.（写出一个即可） 11．（2024秋•盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 　 　对． 12．（2024秋•宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ 　 　． 13．（2023秋•江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 　 　． 14．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 　 　． 15．（2024秋•江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 　 　． 16．（2024秋•江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 　 　． ①OC平分∠ACB； ②∠COD＝∠BOF； ③2∠AEC＝∠BAC； ④BM+CN＞BC； ⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF． 18．（2024•绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 19．（2023秋•四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证： （1）△APM≌△CQN； （2）DM＝AC． 20．（2023秋•滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F． （1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论； （2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论． 21．（2024秋•农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm． （1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动． ①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP； ②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ； （2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？ 22．（2023秋•武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　 　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等； 图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等； 图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等； 故选：B． 2．（2024春•东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：B． 3．（2023秋•昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（　　） A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+EC， 即BC＝EF， A、添加BC＝EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； B、添加∠A＝∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； C、添加AC＝DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； D、添加AC∥DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； 故选：C． 4．（2023秋•宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024秋•浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9， ∴， ∵AB＝5， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． 6．（2024秋•新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（　　） A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误； B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确； C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误； D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误； 故选：B． 7．（2024秋•汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDF与△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正确； ∵AB不一定等于AC， ∴AB+AD+BD不一定等于AC+AD+CD， ∴△ABD和△ACD周长不一定相等，故②错误； 现有条件不能得出∠BAD＝∠CAD，故③错误； ∵△BDF≌△CDE， ∴∠DBF＝∠DCE， ∴BF∥CE，故④正确； 综上可知，正确的有2个， 故选：B． 8．（2024•珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 　3　． 【解答】解：作PE⊥OC，PF⊥OB，如图所示， ∵PE＝PF，PE⊥OC，PF⊥OB， ∴∠POE＝∠POF， ∵CP∥OB， ∴∠CPO＝∠POF， ∴∠CPO＝∠POE， ∴OC＝PC， ∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴OC＝PC＝5﹣2＝3， 故答案为：3． 10．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是　∠CAB＝∠DBC　.（写出一个即可） 【解答】解：添加条件是∠CAB＝∠DBC，在△ABC与△BADC中， ， ∴△ABC≌△BAD（SAS）． 故答案为：∠CAB＝∠DBC（答案不唯一）． 11．（2024秋•盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 　3　对． 【解答】解：如图， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（AAS）； ∴AD＝AE， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）； 在△BDC和△CEB中， ， ∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）； 由上可得，图中全等三角形共有3对， 故答案为：3． 12．（2024秋•宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ 　﹣1　． 【解答】解：∵一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6， 又∵这两个三角形全等， ∴7和y是对应边，x和6是对应边， 根据全等三角形的对应边相等得：x＝6，y＝7， ∴x﹣y＝6﹣7＝﹣1， 故答案为：﹣1． 13．（2023秋•江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 　（6，10）　． 【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△AO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为（6，10）， 故答案为：（6，10）． 14．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 　m+n﹣1　． 【解答】解：∵∠DGC＝∠1， ∴∠ACB＝180°﹣∠FDE﹣∠1， ∵∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠E，∠E＝∠1， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ACB和△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（AAS）， ∴DE＝AB＝m，BC＝EF＝n， ∴CD＝BC+DE﹣BE＝m+n﹣1， 故答案为：m+n﹣1． 15．（2024秋•江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 　10°　． 【解答】解：过点E作EH⊥AB于H，EM⊥CA交CA的延长线于M，EN⊥CD交CD的延长线于N，如图所示： 则∠M＝∠EHA＝∠EHD＝∠N＝90°， ∵∠EAC+∠EAD＝180°， ∴∠EAD+∠DAC+∠EAD＝180°， 即2∠EAD+∠DAC＝180°， ∵∠DAC＝40°， ∴∠EAD＝70°， ∴∠EAC＝180°﹣∠EAD＝110°， ∵∠EAME＝180°﹣∠EAC＝70°， ∴∠EAM＝∠EAD＝70°， 在△EAM和△EHM中， ， ∵△EAM≌△EHM（AAS） ∴EM＝EH， ∵∠ADE＝30°，∠ADC＝120°， ∴∠NDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝30°， ∴∠NDE＝∠ADE＝30°， 在△EDN和△EEDH中， ， ∴△EDN≌△EEDH（AAS） ∴EM＝EH， ∴EM＝EN， 在Rt△ECM和Rt△ECN中， ， ∴Rt△ECM≌Rt△ECN（HL）， ∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD， 在△ADC中，∠DAC＝40°，∠ADC＝120°， ∴∠ACD＝180°﹣（∠DAC+∠ADC）＝20°， ∴∠ECD＝∠ACD＝10°． 故答案为：10°． 16．（2024秋•江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 　①②⑤　． ①OC平分∠ACB； ②∠COD＝∠BOF； ③2∠AEC＝∠BAC； ④BM+CN＞BC； ⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°． 【解答】解：①过点O作OH⊥AQ于H，如图1所示： ∵AE平分∠BAC，OG⊥AB，OH⊥AQ， ∴OG＝OH， ∵OG＝OF， ∴OH＝OF， ∴点O在∠ACB的平分线上， ∴OC平分∠ACB， 故命题①是真命题； ②∵AE平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴设∠BAO＝∠CAO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β， 则∠BAC＝2α，∠ACB＝2β， ∴∠COD＝∠BAO+∠ACO＝α+β， 在△ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2α﹣2β， ∵OG⊥AB，OF⊥BC，OG＝OF， ∴点O在∠ABC的平分线上， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBF＝1/2∠ABC＝90°﹣α﹣β， 在Rt△OBF中，∠BOF＝90°﹣∠OBF＝90°﹣（90°﹣α﹣β）＝α+β， ∴∠COD＝∠BOF， 故命题②是真命题； ③∵OC平分∠ACB，CE平分∠BCQ， ∴∠OCD＝∠ACD，∠ECD＝∠DCQ， ∴∠OCD+∠ECD＝（∠ACD+∠DCQ）， ∵∠ACD+∠DCQ＝180°， ∴∠OCD+∠ECD＝90°， 即∠OCE＝90°， 在Rt△OCE中，∠COD＝α+β， ∴∠AEC＝90°﹣∠COD＝90°﹣α﹣β， ∴2∠AEC＝180°﹣2α﹣2β， 又∵∠BAC＝2α， ∴2∠AEC≠∠BAC， 故命题③是假命题； ④过点E作EK⊥BC于点K，连接BE，如图2所示： ∵AE平分∠BAC，EM⊥AQ，EK⊥BC， ∴EM＝EK， 在Rt△BEM和Rt△BEK中， ， Rt△BEM≌Rt△BEK（HL）， ∴BM＝BK， ∵CE平分∠BCQ，EN⊥AQ，EK⊥BC， ∴EN＝EK， 在Rt△ENC和Rt△EKC中， ， ∴Rt△ENC≌Rt△EKC（HL）， ∴CN＝CM， ∴BM+CN＝BK+CM＝BC， 故命题④是假命题； ⑤在Rt△OFC中，∠BCO＝β， ∠FOC＝90﹣∠BCO＝90°﹣β， 由（2）可知：∠COD＝∠BOF＝α+β， ∴∠DOF＝∠FOC﹣∠COD＝90°﹣β﹣（α+β）＝90°﹣α﹣2β， ∴∠BOC＝∠BOF+∠FOC＝α+β+90°﹣β＝90°+α 又∵∠ACB＝2β， ∴∠DOF+∠ACB+∠BOC＝90°﹣α﹣2β+2β+90°+α＝180°． 故命题⑤是真命题， 综上所述：是真命题的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC＝DF． 18．（2024•绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 19．（2023秋•四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证： （1）△APM≌△CQN； （2）DM＝AC． 【解答】（1）证明：∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC， ∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL）， （2）由（1）已证：△APM≌△CQN， ∴AM＝CN， 在△PDM和△QDN中， ， ∴△PDM≌△QDN（AAS）， ∴DM＝DN， ∴DM＝CD+CN＝CD+AM， 又∵DM+CD+AM＝AC， ∴DM+DM＝AC， 即． 20．（2023秋•滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F． （1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论； （2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1）∠AOB＝90°+∠ACB， 证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA） ＝180°﹣（∠CAB+∠CBA） ＝180°﹣（180°﹣∠ACB） ＝90°+∠ACB； （2）∠AOB+∠COF＝180°， 证明：如图，过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N， ∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC， ∴OM＝ON，ON＝OF， ∴OM＝OF， ∴O在∠ACB的角平分线上， ∴∠OCF＝∠ACB， ∵OF⊥BC， ∴∠CFO＝90°， ∴∠COF+∠OCF＝90°， ∴∠COF＝90°﹣∠OCF，① 由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+∠OCF，② 由①②得：∠AOB+∠COF＝90°+∠OCF+90°﹣∠OCF＝180°； （3）OE＝OD， 证明：∵∠ACB＝60°， ∴由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+30°＝120°， ∴∠EOD＝∠AOB＝120°， ∵OM⊥AC．OF⊥BC， ∴∠OME＝∠OFD＝90°，∠CMO＝∠CFO＝90°， ∴∠MOF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∴∠MOE＝∠DOF＝120°﹣∠MOD， 在△EOM和△DOF中， ， ∴△EOM≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OD． 21．（2024秋•农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm． （1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动． ①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP； ②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ； （2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？ 【解答】解：（1）①∵点Q的速度与点P的速度相等，都是3cm/s， ∴经1s后，BP＝3cm，CQ＝3cm， ∴BP＝CQ＝3cm， ∵BC＝8cm， ∴CP＝BC﹣BP＝5cm， ∵点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm， ∴BD＝5cm， ∴BD＝CP＝5cm， 在△BPD和△CQP中， ， △BPD≌△CQP（SAS）， （2）∵△BPD≌△CPQ， ∴BP＝CP，BD＝CQ， ∴点P是BC的中点，BD＝5cm， ∴BP＝CP＝4cm， ∴点P的运动时间为：4÷3＝（s）， ∴点Q运动的时间为s， ∴点Q运动的速度是：（cm/s）， ∴当点Q的速度为cm/s时，能够使△BPD≌△CPQ； （3）设经过x s时，点Q第一次追上点P． 依题意得：5x﹣3x＝2×10， 解得：x＝10， 此时点P运动的路程为：3x＝30cm， ∵△ABC的周长为：10+10+8＝28（cm），30＝28+2， ∴点Q第一次在△ABC的BC边上追上点P． 答：经过10s，点Q第一次在BC边上追上点P． 22．（2023秋•武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　AE＝BF　； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F， 在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF； 故答案为：AE＝BF； ②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形． 同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF，∴∠E＝∠F． 又∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°， 在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF+CD； （2）如图3，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD， 如图4，连接DG， 由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$