精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高三上学期10月练习数学试题

建平中学高三数学练习试卷 2024.10 一．填空题 1. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 2. 已知全集，集合，集合，则________ 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的基本运算求. 【详解】由对数的定义得，. ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3. 方程的解集为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】 由对数的运算性质可转化条件为，即可得解. 【详解】方程等价于， 所以，解得. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 4. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 【答案】185 【解析】 【分析】利用80百分位数的定义求解即得. 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 5. 若，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据商数关系及其诱导公式求出，然后再根据诱导公式化简目标式子，最后根据齐次式思想进行求解即可. 【详解】已知，解得：； ， 构造齐次式可得：， 代入，得：. 故答案为： 6. 若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型，先求出基本事件的总数，再运用插空法，先安排好语文，英语，物理，再插入数学和体育，求出事件的个数，即可求解. 【详解】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 7. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为________ 【答案】. 【解析】 【分析】长方体的外接球直径为其体对角线长，根据勾股定理可求得. 【详解】长方体的外接球直径为其体对角线长，根据题意可得： 体对角线长为. 故答案为：. 8. 已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，得到，再结合，从而得到，即可求解. 【详解】由，得到，等价于， 因为，则有，即，解得或， 故答案为：或. 9. 若，则满足的的最大值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先得出的奇偶性、单调性，进一步结合已知列出关于的不等式即可求解. 【详解】显然的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称， 当时，，当时，， 当时，， 所以是偶函数， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 所以， 所以满足的的最大值为. 故答案为：. 10. 已知函数，存在，使得，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用条件化简可得：，然后利用辅助角公式及角的范围，即可求实数的取值范围. 【详解】根据题意，已知， 代入可得：， 即， 化简可得：，由得， 则，即； 由于，得， 由此可得：， 所以. 故答案为： 11. 若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化为，通过变形可得对任意的，且有，这样问题转化为已知函数在区间上的单调性求参数范围，求导即可得到结果. 【详解】由题意得，，. ∵，∴，∴， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴，整理得， 令，则在为减函数，， 由得，解得， ∴的单调递减区间为， ∴， ∴，即实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 对任意均有恒成立，则的最大值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】一方面令可以得到，另一方面取满足题意，由此即可得解. 【详解】令，则， 设，则， 因为恒成立，所以①，若①， 由①②可得， 此时恒成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 二．选择题 13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A在定义域内不是增函数;B不是奇函数;C满足要求；D是偶函数． 14. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 15. 在中，若，则下列不等式一定成立的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，二倍角公式以及正弦定理分析判断即可 【详解】在中，，且， 对于①，因为，所以由大边对大角，得，所以由正弦定理得，所以，所以①正确， 对于②，因为在上为减函数，且，，所以，所以②正确， 对于③，若，满足，而，所以③错误， 对于④，由①可知，所以，所以，所以，所以④正确， 所以一定成立的有3个， 故选：D 16. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此， 若公比，则，不合题意； 若公比，则 但， 即，不合题意； 因此， ，选B. 【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 三．解答题 17. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点. （1）求证：； （2）求平面与底面所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）正方体中，以A为原点，以AB， AD， AA1为x轴，y轴，z轴正方向 建立空间直角坐标系如图所示： 所以， ，所以 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据法向量所成角即可求得该二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得： 底面，取为底面的法向量，设平面的法向量为，，取，所以取 ， 所以平面与底面所成的锐二面角的大小为. 【点睛】此题考查线线垂直的证明和求解二面角的大小，通过建立空间直角坐标系利用向量求解，方法简便易行，需要注意防止计算出错. 18. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： （1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； （2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由茎叶图得到成绩在和的学生人数，求出样本容量；从而求出的值和平均数； （2）分别求出厨霸与厨神的人数，求出所取2人至少中有1人是厨神的对立事件，再结合古典概型计算公式，即可得到结果 【小问1详解】 （1）由茎叶图知，成绩在的学生有5人，成绩在的学生有3人， 所以，， 所以， 此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为： . 【小问2详解】 由题意得厨霸有人， 厨神有人， 从中任取2人，基本事件总数， “所取2人至少中有1人是厨神”的对立事件是“所取2人都是厨霸”， 其包含的基本事件个数为， 所以“所取2人中至少有1人是厨神”的概率. 19. 已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． （1）求的解析式与单调递减区间； （2）已知在时，求方程的所有根的和． 【答案】（1） ，或， 当时，单调递减区间为，； 当时，单调递减区间为，； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【小问1详解】 ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 【小问2详解】 设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 20. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： （2）若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【小问1详解】 令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. 【小问3详解】 设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得， 整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得， 整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 ，所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学高三数学练习试卷 2024.10 一．填空题 1. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为________ 2. 已知全集，集合，集合，则________ 3. 方程的解集为______. 4. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 5. 若，则________ 6. 若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是________ 7. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为________ 8. 已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为______ 9. 若，则满足的的最大值为________ 10. 已知函数，存在，使得，则实数的取值范围是________ 11. 若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 12. 对任意均有恒成立，则的最大值为________ 二．选择题 13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. B. C. D. 14. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 15. 在中，若，则下列不等式一定成立的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 三．解答题 17. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点. （1）求证：； （2）求平面与底面所成的锐二面角的大小. 18. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： （1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； （2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 19. 已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． （1）求的解析式与单调递减区间； （2）已知在时，求方程的所有根的和． 20. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： （2）若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $