湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

仙桃市田家炳实验高中高三10月考试 数 学 试 卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项是正确的 ） 1．若集合，则（    ） A． B．2 C． D． 2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知a，b都是正实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数在上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．  6． 已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（    ） A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度 B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度 C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 7.已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 8．已知函数,则下列说法错误的是（   ） A．图象的对称点为 B．的最大值与最小值之和为2 C．恰有一个极值点 D．恰有两个零点 二、多选题 9．下列结论正确的是（　　） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最大值是1 10．已知函数的一个对称中心为，则（    ） A．的最小正周期为π B． C．直线是函数图像的一条对称轴 D．若函数在上单调递减，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当，且时，可能有三个零点 D．当在上单调时， 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知函数是奇函数，且存在正数使得函数在上单调递增.若函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，则的取值范围是 . 14．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ． 四、解答题 15．已知函数，， (1)求的最小正周期； (2)函数最大值； (3)求的单调增区间. 16． 在“①asin 2C＝4csin Ccos2，②a2－c2＝bc”这两个条件中任取一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知__________． (1)求证：A＝2C； (2)已知2a＝3c，且b＝5，求S. 17．（本小题15分）已知的内角所对的边分别为，且，角A的平分线与边交于点. (1)求角A； (2)若，求的最小值. 18．（本小题17分）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 参考答案： 1．C 【分析】根据交集、补集的概念与运算求解即可. 【详解】解：已知集合，，则 又，所以， 故选：C. 2．B 【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 又函数在单调递增，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数， 因为，所以函数不是增函数，故D不符题意. 故选：B. 3．B 【分析】应用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即. 故选：B 4．A 【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系. 【详解】由可得；当时，可得. 则“”是“”的充要条件. 故选：A 5．C 【分析】根据的奇偶性排除B，根据时的取值排除A，D. 【详解】当时，，所以为奇函数，排除B，选项C满足； 当时，，当时，，排除A，D，选项C满足． 故选：C． 6．D 【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得. 【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到. 故选：D. 7． D 思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有。代入 可得，从而 思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0 答案：D 8．C 【分析】先对原函数进行变形，进而把原函数拆成常数加奇函数，由奇函数可以分析出原函数性质，进而判断出A,B,C的正误，把零点问题转化成函数和的图象的交点问题，可以判断出D是错误的. 【详解】, 令,函数为奇函数,其图象对称点为, ∴图象的对称点为,故A正确； ∵函数为奇函数, ∴其最大值点与最小值点关于原点对称, ∴最大值与最小值之和为0, ∴的最大值与最小值之和为2,故B正确； ∵函数的图象关于点对称, ∴它如果有极值点应该也是对称的,不可能恰有一个极值点,故C错误； 令,则, 由函数和的图象可知有两个公共点, 即函数恰有两个零点,故D正确． 故选;C. 9．CD 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误； 对于选项B：当时，由基本不等式可得， 等号成立的条件为，即． 但，故取不到等号，故不是的最小值，故选项B错误； 对于选项C：当时，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确； 对于选项D：当，即时， ， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立． 此时， 即当时，有最大值1，故选项D正确． 故选：CD． 10．AC 【分析】根据的对称中心求得，根据三角函数的最小正周期、对称性、单调性确定正确答案. 【详解】则有，解得， 因为，所以，所以， 则的最小正周期为π，故A正确； ，故B错误； ，则直线是图像的一条对称轴，故C正确； ，当时，， 若函数在上单调递减，则有， 解得则，故D错误. 故选：AC 11．BC 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D. 【详解】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，，则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ， 取，即时，此时， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以函数极小值为，函数极大值为， 即，所以在有一个零点， 又因为，， 所以在有一个零点，在有一个零点， 即当时，有三个零点，故C正确； 对于D项，若在定义域上是单调函数， 则恒成立，所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 【点睛】关键点睛：本题C项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键. 12．/ 【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 13． 【分析】将题目所给条件进行转化，通过画图法绘制关键点判断取得最小值时的值有且仅有一个情况时的范围，最终得到答案. 【详解】解：根据题意，函数是奇函数，则该函数过坐标原点. 存在正数使得函数在上单调递增,则可将等效转化为.如图所示： 观察区间，可将其分为和，在图象中前者宽度为后者的二倍.则条件可转化为： 函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，（其中）， 画出图象，通过绘制关键点发现，当时，满足题意，如图所示： 即，可得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键，是将随着变化而伸缩与区间相比较的问题，转化为在图象中变化区间来确定最小值的问题.减轻了绘图和计 14．/ 【分析】参变分离，将问题转化为函数最值问题，利用导数研究单调性，结合换元法可解. 【详解】因为分别是定义域为的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得，， 因为在上都为增函数， 所以在上单调递增，， 故不等式 令，因为当时，，单调递增， 所以， 又， 所以， 因为在上都为增函数，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的最大值是. 故答案为: 【点睛】本题为不等式恒成立问题，先根据奇偶性求出解析式，然后参变分离，利用换元法化简，结合单调性求解即可. 15.【详解】（1）由题 ， 所以函数的最小正周期为. （2）因为，， 所以函数最大值为. （3）令得， 所以函数的单调增区间为. 16【解】　(1)证明：若选择①，证明过程如下： 由asin 2C＝4csin Ccos2，得a·2sin Ccos C＝4csin C·，因为sin C≠0，所以acos C＝c(1＋cos A)， 所以sin Acos C＝sin C＋sin Ccos A，所以sin(A－C)＝sin C. 因为0<A<π，0<C<π，所以－π<A－C<π， 所以A－C＝C或A－C＋C＝π，即A＝2C或A＝π(舍去)． 综上，A＝2C. 若选择②，证明过程如下： 由a2－c2＝bc及a2＝b2＋c2－2bccos A， 得bc＝b2－2bccos A，得c＝b－2ccos A， 由正弦定理得sin C＝sin B－2sin Ccos A，　 所以sin C＝sin(A＋C)－2sin Ccos A ＝sin Acos C＋cos Asin C－2sin Ccos A ＝sin Acos C－cos Asin C＝sin(A－C)． 因为0<A<π，0<C<π，所以－π<A－C<π， 所以A－C＝C或A－C＋C＝π，即A＝2C或A＝π(舍去)． 综上，A＝2C. (2)由(1)知，A＝2C.由2a＝3c及正弦定理得2sin A＝3sin C， 所以2sin 2C＝3sin C，所以4sin Ccos C＝3sin C， 因为sin C≠0，所以cos C＝，sin C＝ ＝. 由余弦定理得c2＝25＋c2－15c·， 得c2－9c＋20＝0，解得c＝4或c＝5(舍)， 当c＝4时，a＝6，所以S＝absin C＝×6×5×＝； 17. 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简计算即可； （2）由结合（1）及可得出，基本不等式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理化简可得： ， ∴， 即， 由∴ 又∵，∴，∴， 又，∴. （2）   根据角A的平分线与边交于点，所以， ，即， 所以，即. 当且仅当时，即时，等号成立. 所以的小值为18. 18．(1) (2) 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 19.【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （3）令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$