三角函数专题训练-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•民乐县校级一模）＝（　　） A．tan20° B．tan70° C．﹣tan20° D．﹣tan70° 2．（2024•河南模拟）若，且tanα＝2tanβ，则sin（α+β）＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024•双鸭山四模）已知函数在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•东西湖区校级模拟）若函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向左平移φ个单位后在区间上单调递增，则φ＝（　　） A． B． C． D． 5．（2024•吉安模拟）若，则tany＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 6．（2024•雁峰区校级模拟）已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于点对称 B．f（x）的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．f（x）的最小正周期为2π 7．（2024•青秀区校级二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（）图象的一个对称中心为，则（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）在上的值域为 D．将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 8．（2024•涪陵区校级模拟）已知函数，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是（　　） A．f（sinA）＞f（sinB） B．f（cosA）＞f（cosB） C．f（sinA）＞f（cosB） D．f（cosA）＞f（sinB） 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•新华区校级一模）关于函数，下列说法中正确的有（　　） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π （多选）10．（2024•广汉市校级模拟）在△ABC中，下列等式恒成立的是（　　） A．sinA﹣sin（B+C）＝0 B．cosA﹣cos（B+C）＝0 C． D． （多选）11．（2024•朝阳区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象．若曲线y＝g（x）的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（　　） A．ω＝2 B．g（x）的图象关于直线对称 C．g（x）的图象关于点对称 D．若f（π）＝﹣2，则g（x）在区间[0，π]上的最大值为 三．填空题（共3小题） 12．（2024•海淀区校级三模）已知角α，β的终边关于原点O对称，则cos（α﹣β）＝　 　． 13．（2024•长宁区校级三模）若函数的一个零点是，则函数y＝f（x）的最大值为 　 　． 14．（2024•迎江区校级四模）已知函数．直线与曲线y＝f（x）的两个交点A，B如图所示．若，且f（x）在区间上单调递减，则ω＝　 　；φ＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•东兴区校级模拟）已知． （1）求f（x）的单调增区间和对称中心； （2）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，．求的值域． 16．（2024•朝阳区校级模拟）已知函数． （1）若，求f（x）的值域； （2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个连续的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x3+2x1＝3x2，求a的值． 17．（2024•思明区校级模拟）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简． （1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）若，n∈N*，求n的值． 18．（2024•广汉市校级模拟）已知角α满足_____．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）． 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M（3，﹣4）； 条件②：角α满足，且角α为第四象限角； 条件③：角α满足且10sin2α﹣15cos2α＝1． （1）求的值； （2）求cos2α+sinαcosα+1的值． 19．（2024•江阴市校级二模）已知函数． （1）若，求f（x）的对称中心； （2）已知0＜ω＜5，函数f（x）图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，是g（x）的一个零点，若函数g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10个零点，求n﹣m的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得h（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围． 三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•民乐县校级一模）＝（　　） A．tan20° B．tan70° C．﹣tan20° D．﹣tan70° 【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝＝tan20°． 故选：A． 2．（2024•河南模拟）若，且tanα＝2tanβ，则sin（α+β）＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为＝sinαcosβ﹣sinβcosα， 又tanα＝2tanβ， 所以sinαcosβ＝2sinβcosα， 则sinβcosα＝，sinαcosβ＝， 则sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝． 故选：D． 3．（2024•双鸭山四模）已知函数在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由于函数y＝cosx的对称轴方程为x＝kπ，（k∈Z）， 令ωx﹣＝kπ， 所以，解得． 故选：D． 4．（2024•东西湖区校级模拟）若函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向左平移φ个单位后在区间上单调递增，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）向左平移φ个单位后为y＝sin（2x+3φ）， 当时，2x+3φ∈[3φ，π+3φ]， ∵y＝sin（2x+3φ）单调递增，且0＜φ＜π， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024•吉安模拟）若，则tany＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【解答】解：因为sinx+cosx＝sin（x+）＝sin[（+）+] ＝sin（+）cos+cos（+）sin， ＝， 所以， 可得tan（+）＝tan， 可得+＝+kπ，k∈Z， 所以， 所以tany＝﹣1． 故选：C． 6．（2024•雁峰区校级模拟）已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于点对称 B．f（x）的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．f（x）的最小正周期为2π 【解答】解：∵，根据余弦函数的性质检验各选项： 余弦函数在对称中心处取函数值0，， ∴f（x）的图象关于点不对称，故A选项不正确． ∵， ∴f（x）的图象关于直线不对称，故B选项不正确． 因为， 又，即，故为偶函数，故C选项正确． f（x）的最小正周期为，故D选项不正确． 故选：C． 7．（2024•青秀区校级二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（）图象的一个对称中心为，则（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）在上的值域为 D．将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 【解答】解：由函数的对称中心可得，解得， 又|φ|＜，故，即； 对A：当时，， 由函数y＝sinx在⊈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z， 故f（x）在区间上不为单调递增，故A错误； 对B：当时，， 由不是函数y＝sinx的对称轴， 故不是f（x）图象的对称轴，故B错误； 对C：当时，， 则，故C错误； 对D：将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后， 可得， 该函数关于y轴对称，故D正确． 故选：D． 8．（2024•涪陵区校级模拟）已知函数，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是（　　） A．f（sinA）＞f（sinB） B．f（cosA）＞f（cosB） C．f（sinA）＞f（cosB） D．f（cosA）＞f（sinB） 【解答】解：∵A，B是锐角△ABC的两个内角， ∴A，B∈（0，）， 又， ∴在上恒成立，∴f（x）在上单调递减． 又⇒， 则， ∴f（cosA）＞f（sinB），D正确； 同理可得f（cosB）＞f（sinA），C错误 而sinA与sinB，cosA与cosB的大小关系均不确定， ∴f（sinA）与f（sinB），f（cosA）与f（cosB）的大小关系也均不确定，A，B均错误． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•新华区校级一模）关于函数，下列说法中正确的有（　　） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 【解答】解：A中，的定义域满足x﹣≠+kπ，k∈Z，即x≠+kπ，k∈Z， 所以定义域为{x|≠+kπ，k∈Z）不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； B，函数的单调递增区间满足：， 得 ）为该函数的单调递增区间， 令k＝0，得，故B正确； C，函数的对称中心的横坐标满足：，得， 令k＝1，得，故 为其图象的一个对称中心，故C正确； D．函数 的最小正周期为T＝＝π，故D正确． 故选：BCD． （多选）10．（2024•广汉市校级模拟）在△ABC中，下列等式恒成立的是（　　） A．sinA﹣sin（B+C）＝0 B．cosA﹣cos（B+C）＝0 C． D． 【解答】解：在△ABC中，B+C＝π﹣A， 对于A，sinA﹣sin（B+C）＝sinA﹣sin（π﹣A）＝0，A正确； 对于B，cosA﹣cos（B+C）＝cosA﹣cos（π﹣A）＝2cosA，cosA不一定为0，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，不一定为0，D错误． 故选：AC． （多选）11．（2024•朝阳区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）的图象．若曲线y＝g（x）的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（　　） A．ω＝2 B．g（x）的图象关于直线对称 C．g（x）的图象关于点对称 D．若f（π）＝﹣2，则g（x）在区间[0，π]上的最大值为 【解答】解：由于函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数，所以（k∈Z），由于将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到y＝g（x）的图象， 则， 对于A，因为曲线y＝g（x）的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故，解得ω＝1，故A不正确； 所以函数，则f（x）＝Acosx或f（x）＝﹣Acosx， ， 则或， 对于B，令（k∈Z），解得，当k＝0时，g（x）的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令（k∈Z），解得，（k∈Z）当k＝0时，所以g（x）的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当f（π）＝﹣2时，A＝﹣2或A＝2，所以或， 当时，当x∈[0，π]时，，所以g（x）在[0，π]上单调递增，函数的最大值为g（π）＝1； 当时，当x∈[0，π]时，， 所以g（x）在[0，π]上单调递减，故函数的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•海淀区校级三模）已知角α，β的终边关于原点O对称，则cos（α﹣β）＝　﹣1　． 【解答】解：因为角α，β的终边关于原点O对称， 所以β＝α+（2k﹣1）π（k∈Z）， 则cos（α﹣β）＝cos[α﹣α﹣（2k﹣1）π]＝cos[（1﹣2k）π]＝cos（π﹣2kπ）＝cosπ＝﹣1（k∈Z）． 故答案为：﹣1． 13．（2024•长宁区校级三模）若函数的一个零点是，则函数y＝f（x）的最大值为 　2　． 【解答】解：函数的一个零点是， 则， 即a＝1， 即＝， 则f（x）∈[﹣2，2]， 则函数y＝f（x）的最大值为2． 故答案为：2． 14．（2024•迎江区校级四模）已知函数．直线与曲线y＝f（x）的两个交点A，B如图所示．若，且f（x）在区间上单调递减，则ω＝　2　；φ＝　　． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得（k∈Z），所以， 又，所以，解得：ω＝2， 此时f（x）的最小正周期， 因为，f（x）在区间上单调递减， 所以和分别为f（x）单调递减区间的起点和终点， 当时，， 所以（k∈Z），所以， 又，所以． 综上，ω＝2，． 故答案为：2；． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•东兴区校级模拟）已知． （1）求f（x）的单调增区间和对称中心； （2）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，．求的值域． 【解答】解：（1）＝sinx（cosx+sinx） ＝sinxcosx+sin2x ＝sin2x+•（1﹣cos2x） ＝sin（2x﹣）+， 所以函数的单调递增区间满足﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z， 解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z； 函数的对称中心的横坐标满足2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z， 所以函数的对称中心为（+，），k∈Z； （2）因为， 由（1）可得sin（2A﹣）＝0， 在锐角三角形中，可得A∈（0，），可得2A﹣＝0， 解得A＝， ，设， 由正弦定理可得：＝， 由，解得，则， 故有t∈（，） 于是，， 而在上单调递减， 在上单调递增，且， g（1）＝2， 则的值域为． 16．（2024•朝阳区校级模拟）已知函数． （1）若，求f（x）的值域； （2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个连续的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x3+2x1＝3x2，求a的值． 【解答】解：（1）∵， ∴， 因为，取， 则，因y＝sinz在[上单调递增，在[上单调递减， 故， 则， ∴f（x）的值域为； （2）因为的周期为π，由题意可知x3＝x1+π，代入x3+2x1＝3x2得， 由，k∈Z，可得，k∈Z， 由，k∈Z，代入，解得，k∈Z． ∴，k∈Z， 当k＝2n，n∈Z时，； 当k＝2n+1，n∈Z时，， 故a的值为±1． 17．（2024•思明区校级模拟）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简． （1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）若，n∈N*，求n的值． 【解答】解：（1）证明：sin3x＝sin（2x+x）＝sin2xcosx+cos2xsinx＝2sinxcosx•cosx+（1﹣2sin2x）sinx＝2sinx（1﹣sin2x）+sinx﹣2sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）由（1）可知，sin30°＝3sin10°﹣4sin310°＝， 即sin10°是方程4x3﹣3x+＝0的一个实根． 令f（x）＝4x3﹣3x+，f′（x）＝12x2﹣3＝3（2x+1）（2x﹣1）， 显然0＜sin10°＜sin30°＝， 当时，f′（x）＜0， 所以f（x）＝4x3﹣3x+在上单调递减， 又f（）＝4×﹣+＝＞0，f（）＝4×﹣+＝﹣＜0， 由零点存在定理，可知， 故n＝5． 18．（2024•广汉市校级模拟）已知角α满足_____．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）． 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M（3，﹣4）； 条件②：角α满足，且角α为第四象限角； 条件③：角α满足且10sin2α﹣15cos2α＝1． （1）求的值； （2）求cos2α+sinαcosα+1的值． 【解答】解：（1）若选条件①，则， 所以＝＝； 若选条件②，则由角α满足，且角α为第四象限角， 得，， 所以＝＝； 若选条件③，则由10sin2α﹣15cos2α＝1，得10（1﹣cos2α）﹣15cos2α＝1， 化简得25cos2α＝9，得， 因为，所以， 所以，， 所以＝＝； （2）若选条件①，由（1）知， 所以cos2α+sinαcosα+1＝； 若选条件②，由（1）知， 所以cos2α+sinαcosα+1＝； 若选条件③，由（1）知， 所以cos2α+sinαcosα+1＝． 19．（2024•江阴市校级二模）已知函数． （1）若，求f（x）的对称中心； （2）已知0＜ω＜5，函数f（x）图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，是g（x）的一个零点，若函数g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10个零点，求n﹣m的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得h（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以f（x）的最小正周期是π，即，解得ω＝±1， 当ω＝1时，， 令2x+＝kπ，k∈Z，则x＝﹣+，k∈Z，即f（x）的对称中心为； 当ω＝﹣1时，， 令﹣2x+＝kπ，k∈Z，则x＝﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为， 综上所述，f（x）的对称中心为或． （2）由题意知，， 因为是g（x）的一个零点， 所以g（）＝2sin（ω+﹣ω）+1＝0，即ω+＝+2kπ或+2kπ，k∈Z， 解得ω＝3+6k或ω＝5+6k，k∈Z， 又0＜ω＜5，所以ω＝3， 所以g（x）＝2sin（6x﹣）+1，最小正周期， 令g（x）＝2sin（6x﹣）+1＝0， 有6x﹣＝﹣+2kπ或﹣+2kπ，k∈Z，即x＝+或，k∈Z， 若函数g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10个零点，则g（x）的图象至少包含了4个周期，再加第5个周期的第一个零点， 所以． （3）由（2）知， 若对任意，存在，使得h（x1）＝g（x2）成立，则h（x1）⊆g（x2）， 当时，6x﹣∈[﹣，]，所以sin（6x﹣）∈[﹣1，1]，即g（x2）∈[﹣1，3]， 当时，2x﹣∈[﹣，]，所以cos（2x﹣）∈[，1]，即h（x1）∈[﹣a+3，﹣a+3]， 由h（x1）⊆g（x2），得解得， 所以实数a的取值范围为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$