第二章 二次函数 单元练习2024-2025学年北师大版(2012)数学九年级下册

二次函数 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分,给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知是关于x的二次函数,那么m的值为( ) A.-2 B.2 C. 2 D.0 2.将抛物线的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线,,,是抛物线上三点,则,,由小到大序排列是() A. B. C. D. 4.设函数(a,h,k是实数,),当时,,当时,( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 5.对于二次函数的性质,下列叙述正确的是( ) A.当时,y随x增大而减小 B.抛物线与直线有两个交点 C.当时,y有最小值3 D.与抛物线形状相同 6.对于抛物线,下列说法错误的是( ) A.抛物线开口向上 B.当时, C.抛物线与x轴有两个交点 D.当时,y有最小值-5 7.对于二次函数,定义函数是它的相关函数.若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点,则c的值可能是( ) A. B. C. D. 8.已知二次函数的图象与x轴最多有一个公共点,若的最小值为3,则t的值为( ) A. B.或 C.或 D. 9.如图1,在矩形中,,E是边上的一个动点,,交于点F,设,,图2是点E从点B运动到点C的过程中,y关于x的函数图象,则的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知抛物线的对称轴为直线,与x轴的一个交点为.若关于x的一元二次方程有整数根,则p的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 二、填空题(每小题4分,共20分) 11.二次函数在范围内的最大值为_. 12.在平面直角坐标系中,点、在抛物线上.当时,抛物线上A、B两点之间(含A、B两点)的图像的最高点的纵坐标为3,则m的值为_. 13.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,其顶点为P,若,则a的值是_. 14.如图,的顶点在抛物线上,将绕点O顺时针旋转,得到,边与该抛物线交于点P,则点P的坐标为_. 15.二次函数的图象如图所示,对称轴是直线.下列结论:①;②;③;④(m为实数).其中正确的结论有_. 三、解答题(本大题共6小题,共计60分,解答题应写出演算步骤或证明过程) 16.(8分)小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销售将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元). (1)求y与x的函数关系式; (2)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润. 17.(8分)已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表: x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)二次函数图象所对应的顶点坐标为; (2)当时,_; (3)与x轴的交点_; (4)当函数值时,x的取值范围_. 18.(10分)若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和,则这个函数称为另两个函数的“生成函数”.现有关于x的两个二次函数,,且,,的“生成函数”为:;当时,;二次函数的图象的顶点在y轴上. (1)求m的值; (2)求二次函数,的解析式. 19.(10分)已知抛物线与x轴交于和两点,其顶点为P. (1)求b和c的值; (2)点在对称轴左侧,点在对称轴右侧,且满足,则_(填“>”“<”或“=”); (3)将抛物线平移使得其顶点P落在直线上,若平移后的抛物线与y轴交点为C,求点C的纵坐标n的取值范围. 20.(12分)在2024年元旦即将到来之际,学校准备开展“冬日情暖,喜迎元旦”活动,小星同学对会场进行装饰.如图1所示,他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带,如图2所示,已知墙与等高,且、之间的水平距离为8米. (1)如图2,两墙,的高度是_米,抛物线的顶点坐标为_; (2)为了使彩带的造型美观,小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上,如图3所示,使得点M到墙距离为3米,使抛物线的最低点距墙的距离为2米,离地面2米,求点M到地面的距离; (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带,小星现将M到地面的距离提升为3米,通过适当调整M的位置,使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为,若设点M距墙的距离为m米,抛物线的最低点到地面的距离为n米,探究n与m的关系式,当时,求m的取值范围. 21.(12分)已知平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,且,. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点,连接PB,PC,过点P作轴于点D,交BC于点K.记,的面积分别为,,求的最大值; (3)如图2,连接AC,点E为线段AC的中点,过点E作交x轴于点F.在抛物线上是否存在点M,使?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 答案以及解析 1.答案:B 解析:∵是y关于x的二次函数, ∴且, 解得, 故选:B. 2.答案:B 解析:将抛物线化为顶点式, 即: , 将抛物线的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位, 根据函数图像平移性质:左加右减,上加下减得: , A选项代入,,不符合; B选项代入,,符合; C选项代入, ,不符合; D选项代入,,不符合; 故选:B. 3.答案:B 解析:.抛物线,, 该抛物线的对称轴为直线,抛物线开口向上, 当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小, ,,是抛物线上三点,,,. 故选:B. 4.答案:C 解析:当时,;当时,;代入函数式得: , , 整理得:,若,则,故A错误; 若,则,故B错误; 若,则,故C正确; 若,则,故D错误; 故选:C. 5.答案:D 解析:∵, ∴该二次函数的对称轴为直线, ∵,函数开口向下, ∴当时,y随x增大而减小,故A错误,不符合题意; B、当时,, 整理得: ∴, ∴方程无实数根,则抛物线与直线没有交点,故B错误,不符合题意; C、∵,,函数开口向下, ∴当时,y有最大值3,故C错误,不符合题意; D、∵可由向右平移2个单位长度,向上平移3个单位长度得到, ∴与抛物线形状相同,故D正确,符合题意; 故选:D. 6.答案:B 解析:对于抛物线, , 抛物线开口向上,顶点坐标,即时,y有最小值-5, 抛物线, 抛物线与x轴有两个交点,故选项A,C,D正确. 故选:B. 7.答案:D 解析:当时,二次函数的相关函数为 当时,二次函数的相关函数为, ∴二次函数的相关函数为, 二次函数的图象开口向上,与y轴的交点为,对称轴为直线, 当时,y随x的增大而减小,当时,y随x的增大而增大; 二次函数的图象开口向下,与y轴的交点为,对称轴为直线,当时,y随x的增大而增大; 一次函数与y轴的交点为 一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况: ①一次函数分别与,相交一点, 则有, 解得; ②一次函数与有两个交点,与不相交, 则有, 解得, 且, 即有两个不相等的实数根, ∴, 解得, ∴; 综上所述,或, ∴的值可能是2, 故选:D. 8.答案:D 解析:二次函数的图象与x轴最多有一个公共点, 化简得 解得:, , ,抛物线开口向上, 当时,,y随m增大而增大, 时y值最小,此时最小值为 的最小值为3, 解得:; 当时, 当时,y有最小值 的最小值为3, 此时t无解; 当时,,y随m增大而减小, ,y值最小,此时最小值为 的最小值为3, 解得(舍去); 综上,若的最小值为3,则. 故选:D. 9.答案:C 解析:,, . , . , . , , , 设,则, 整理得, 由图象可知,点E从点B运动到点C的过程中,y关于x的函数图象为抛物线,且顶点坐标为, 设抛物线的解析式为, 抛物线过点, , 解得, , , . 故选:C. 10.答案:B 解析:抛物线的对称轴为直线, ,解得. 又抛物线与x轴的一个交点为, 把代入得,, 解得:. . 对称轴,最大值. 如图所示, 顶点坐标为, 令, 即, 解得或. 当时,抛物线始终与x轴交于与, . 即常函数直线,由, , 由图象得当时,,其中x为整数时,,1,2. 一元二次方程的整数解有3个. 又与关于直线轴对称, 当时,直线恰好过抛物线顶点, 所以p值可以有2个. 故选:B. 11.答案:36 解析: 抛物线开口向上,对称轴为直线,在的取值范围内,当时,有最大值为:, 故答案为36. 12.答案: 解析:由函数解析式可知抛物线的对称轴为,顶点坐标为, ∴当时,,不符合题意; 当时,抛物线上A、B两点之间(含A、B两点)的图像的最高点的纵坐标不可能为3,不符合题意; 当时,y随x增大而增大, ∴当时,函数值, 即, 解得, ∵, ∴, 故答案为:. 13.答案: 解析:如图,过P作于C,由题意可知, ∴, 由勾股定理得,, 设,则,, ∴抛物线的表达式为, 将代入得,, 解得,, 故答案为:. 14.答案: 解析:∵的顶点在抛物线上, ∴, 解得:, ∴解析式为, ∵的顶点为, ∴, ∵绕点O顺时针旋转,得到, ∴轴, ∴点D和点P的纵坐标均为4, ∴令,得, 解得:, ∵点P在第一象限, ∴点P的坐标为: 故答案为. 15.答案:②③④ 解析:抛物线开口向上,与y轴交点在负半轴, ,, 抛物线对称轴为直线, , , ,①结论错误; 由图象可知,当时,, ,②结论正确; 由图象可知,当时,, , ,③结论正确; 由图象可知,当时,二次函数有最小值, , ,④结论正确, 故答案为:②③④. 16.答案:(1) (2);当x为12时,日销售利润最大,最大利润960元 解析:(1)根据题意得,, 故y与x的函数关系式为; (2)根据题意得,, , 当时,w随x的增大而增大, 当时,, 答:当x为12时,日销售利润最大,最大利润960元. 17.答案:(1) (2)5 (3)和 (4)或 解析:(1)观察表格可知当时,,当时,, 所以抛物线的对称轴是,顶点坐标是. 故答案为:; (2)因为对称轴是, 所以和时的函数值相等,所以. 故答案为:5; (3)观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和. 故答案为:和; (4)当时,,当时,,且抛物线开口向上, 所以当或时,. 故答案为:或. 18.答案:(1) (2); 解析:(1),,的“生成函数”为:; , 当时,, , 解得:,, 又∵, ∴. (2)由(1)可知:当时, 又∵二次函数的图象的顶点在y轴上, ∴ ∴, ∴;. 19.答案:(1), (2)< (3) 解析:(1)将、分别代入抛物线, , 解得 (2)由(1)得,抛物线的函数表达式为, 所以,配方得,, ∴抛物线的对称轴是直线, 又∵, ∴, ∴M、N两点的中点在对称轴的右侧, ∴M离对称轴近,N离对称轴距离远, 又抛物线开口向上,M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧, ∴, 故答案为:<; (3)由题意,平移后的抛物线顶点P落在直线上, ∴可设, 又原抛物线为, ∴新拋物线为, ∵新抛物线与y轴交于点C, ∴令,则点C的纵坐标, ∵对于任意的m都有 ∴点C的纵坐标n取值范围为. 20.答案:(1)3; (2)2.25米 (3)m的取值范围为: 解析:(1)由题意得,抛物线的对称轴为,则,解得:; 抛物线的表达式为,则点,即(米), 当时,,即顶点坐标为, 故答案为:3,; (2)设抛物线的表达式为, 将点A的坐标代入上式得,解得, 抛物线的表达式为, 当时,(米), 点M到地面的距离为2.25米; (3)由题意知,点M、C纵坐标均为4,则右侧抛物线关于M、C对称, 抛物线的顶点的横坐标为,则抛物线的表达式为, 将点C的坐标代入上式得,整理得; 当时,即,解得(不合题意的值已舍去); 当时,同理可得, 故m的取值范围为:. 21.答案:(1) (2)当时,的最大值为 (3)见解析 解析:(1)把,,代入函数解析式得: ,解得:, ∴. (2)∵当时,解得,,∴, ∴设直线BC的解析式为:,把代入,得:, ∴, 设,则,, ,,, ∴,, ∴, ∴当时,的最大值为. (3)∴,,点E为AC的中点,∴, ∵,∴, ∴, 设,则, 在中,由勾股定理,得:, ∴,∴,, ∵,, ∴, ∴, 设FE的解析式为:,,, 解得:,∴, 联立,解得,, ∴; 取点E关于x轴的对称点,连接交抛物线于点M,则:, , 设的解析式为:, 则:,解得:, ∴, 联立,解得,, ∴; ;; ;. 学科网(北京)股份有限公司 $$