精品解析：江苏省镇江市实验高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023~2024学年度第一学期高二期中考试 数学试卷 一、选择题 1. 下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线求出斜率，然后转换成倾斜角的大小作比较即可. 【详解】A，B，C选项中直线的倾斜角分别为0，，，D选项中直线的斜率为负值，则其倾斜角为钝角. 故选：D. 2. 已知直线，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 当两直线斜率存在时，利用斜率之积等于得解 【详解】，解得 故选：B 3. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 4. 在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（ ） A. 65斤 B. 82斤 C. 184斤 D. 201斤 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可. 【详解】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤， 则数列为公差为的等差数列. 因为绵的总数为斤， 所以，解得. 故选：C. 5. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得，表示以为圆心，以为半径的半圆，画出图象，由图象结合直线与圆位置关系，即可得出结果. 【详解】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆， 其图象如下： 由图象可得，当直线过点时， 直线与曲线恰有一个公共点，此时有，即； 当直线过点时， 直线与曲线恰有两个公共点，此时有，即； 当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径， 即，且，解得； 因此，由图象可得，为使直线与曲线恰有一个公共点， 则实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可. 【详解】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列， 则，，故. 故选：B. 7. 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时,直线为,此时直线与圆不相交，不符合题意；当直线的斜率存在时,设方程为,由可知当时面积取最大值可得答案. 【详解】的圆心为,半径为, 当直线的斜率不存在时，直线过点可得直线为，此时直线与圆不相交，不符合题意； 当直线的斜率存在时,设方程为, , 所以当即时面积取最大, 即为等腰直角三角形,可得到的距离为1, 即圆心到直线的距离为, 解得. 故选：C. 8. 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解. 【详解】椭圆，则，，， 如图，设椭圆的右焦点为， 则； ， 由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，， 当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ； 当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值， 的最小值为． 故选：． 二、多选题 9. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 当时，曲线C为圆 B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 D. 存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，直角将代入验证即可，对于C，由B选项分析举出反例即可，对于D，由题意根据离心率列出方程，说明方程无解即可. 【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，即曲线C为圆，故A正确； 对于B，当时，曲线C的方程为，其渐近线方程为，故B正确； 对于C，由B选项分析可知，当时，曲线C的方程为， 此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，故C错误； 对于D，若曲线C为双曲线，且其离心率为， 则， ，或， 而这两个方程均无解，故不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，故D错误. 故选：AB. 10. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列单调递减 D. 对任意，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可得，而，从而可判断ABCD. 【详解】， ，，B正确； 而，故无法判断的正负，A错误； ，数列单调递减，C正确； 当时，有最大值，即，D正确. 故选：BCD 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则， D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误； B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确； C选项，设椭圆：，双曲线：，， 由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出； D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径， 求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标. 【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为， 当时，故圆心距， 此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误； 对B，圆的圆心到直线的距离为， 而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确； 对C，设椭圆：，双曲线：，， 因为，所以，， 解得：，， 由勾股定理：，即， 化简得：， 则椭圆的离心率，双曲线的离心率， 则，C正确； 对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径， 则此圆圆心为，半径为， 故圆的方程为， ，与相减得：， 因为，所以过定点， 即直线经过定点，D错误. 故选：BC 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断各选项. 【详解】当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为， 曲线的图像如图所示； 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，故其周长为，故B正确； 对于C：曲线上点与点的距离为，故C错误； 对于D：圆心到直线的距离为，到直线的距离， 若使最小，则有， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程的方程为_______________________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先设出直线与轴，轴的截距分别为，再分别求和时的直线方程即可. 【详解】设直线与轴，轴的截距分别为. 当时，设直线为， 因为直线过点，所以，，故直线为. 当时，设直线为， 因为直线过点，所以，解得，故直线为. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查直线方程的截距式，同时考查了分类讨论的思想，属于简单题. 14. 椭圆的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B， 由题设条件知AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°， 故答案为． 点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；将几何图形的特点和圆锥曲线联系到一起．求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________． 【答案】[0，3] 【解析】 【详解】设M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a2＋(a－3)2≤9，解得实数a的取值范围是[0，3]． 16. 已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______. 【答案】 ①. ②. 4039 【解析】 【分析】根据已知求得的表达式，由此求得的取值范围.根据成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数. 【详解】由已知， 结合知，解得， 故q的取值范围为. 由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. 要使成立 则 即， 将代入整理得： 故最大正整数. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前项和公式，属于中档题. 四、解答题 17. 在平面直角坐标系xOy中，设直线（）． （1）求证：直线l经过第一象限； （2）当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程． 【答案】（1）证明：方程可化为， 由解得 所以直线l过定点， 因为在第一象限，所以直线l经过第一象限． （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线l过定点即可； （2）当时，原点O到直线l的距离最大，然后可算出答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题意可得，当时，原点O到直线l的距离最大， 因为，所以直线l的方程为， 即． 18. 设等比数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由满足这两个条件建立等式解出首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，由，得，然后解方程即可. 【小问1详解】 设公比为q，由，得，解得. 由，得， 结合，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得， 则是以1为首项，2为公差的等差数列， 由，得， 整理，得，解得或（舍去） 故存在，使得. 19. 设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. （1）求圆心C的轨迹E的方程； （2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程； （2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解. 【小问1详解】 圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切， 则， 所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线， 其标准方程 【小问2详解】 过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l， 其方程，恰好经过， N在线段上，， ， 即， 所以的周长 20. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 21. 已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 所以， 故 ，得证. 【解析】 【分析】（1）首先利用已知数列的前项和求，再根据双曲线的方程，得与的关系，求数列的通项公式； （2）首先表示，利用错位相减法求和，即可证明不等式. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减，可得， 所以，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以. 由题意，得，所以. 【小问2详解】 略 22. 已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆M的标准方程； （2）若，求的面积； （3）是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即， 设，则， 因为，则， 令， 解得：或， 又因为，则不存在点，使得， 所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而可求和椭圆标准方程； （2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为； （3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样的B点不存在． 【小问1详解】 由左焦点、左顶点可知：，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，， 则过的直线的方程为：，即， 解方程组，解得或， 所以的面积. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第一学期高二期中考试 数学试卷 一、选择题 1. 下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）. A. B. 或 C. D. 或 4. 在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（ ） A. 65斤 B. 82斤 C. 184斤 D. 201斤 5. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 当时，曲线C为圆 B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆 D. 存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为 10. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列单调递减 D. 对任意，有 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则， D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题 13. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程的方程为_______________________． 14. 椭圆的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为__________． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________． 16. 已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______. 四、解答题 17. 在平面直角坐标系xOy中，设直线（）． （1）求证：直线l经过第一象限； （2）当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程． 18. 设等比数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 19. 设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. （1）求圆心C的轨迹E的方程； （2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 20. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 21. 已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 22. 已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆M的标准方程； （2）若，求的面积； （3）是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $