精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题（B）

2023—2024学年度第一学期期中考试 高一数学试题（B） 2023.11 注意事项： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3，考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A B. C. D. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知与是分别定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　 A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是最小值是2 C. 若，则 D. 若x，y为正实数，若，则最小值为3 11. 若函数存在最小值，则实数a的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为0 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 不等式的解集是______． 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______． 15. 若幂函数在上单调递增，则实数________. 16. 已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设全集，集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围． 18. 已知，，． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 19. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若，当时，的最小值为1，求m的值． 20. 某科技公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知函数为奇函数，. （1）求的值； （2）若恒成立，求实数取值范围. 22. 已知幂函数． （1）若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； （2）若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第一学期期中考试 高一数学试题（B） 2023.11 注意事项： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3，考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】解：因为集合，， 所以，. 故选：D 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得答案. 【详解】命题：“”的否定是“”. 故选：C. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出的值，可得幂函数的解析式，则求得的值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点， 所以，即， 所以， 则. 故选：D. 4. 已知与是分别定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，与是分别定义在上的奇函数和偶函数，且， 所以，即， 两式相减并化简得. 故选：A 5. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求． 【详解】解：是定义在，上的偶函数， ， ， 在，上为增函数， 在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小， 由可得，且，且， 解得， 故不等式的解集为． 故选：． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 6. 若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的取值范围. 【详解】依题意，不等式的解集为或， 所以，，， ，所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求得集合，利用分离常数法、基本不等式求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，即， 所以，所以的定义域， 由于，， 所以在区间上恒成立， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】求得在区间上的解析式，画出与的图象，根据图象确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，定义域为， 时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当，， ， 以此类推可知当时，. 由此画出在区间上的图象如下图所示， 由图可知，与的图象有个交点，所以方程解的个数为. 故选：A 【点睛】求解方程的解的个数问题，可以转化为两个函数图象的交点个数来进行研究，通过研究函数图象交点的个数，从而求得方程的解的个数.根据函数的奇偶性画函数的图象，如果函数是奇函数，则图象关于原点对称，如果函数是偶函数，则图象关于轴对称. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，结合Venn图对选项逐一分析，即可得出正确选项. 【详解】因为，Venn图如图所示， 故，，即AB均正确； 由交集和并集的概念可知，，即C错误，D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是的最小值是2 C. 若，则 D. 若x，y为正实数，若，则的最小值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，平方得，所以A选项正确. B选项，， 但无解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，若，如，则，所以C选项错误. D选项，若x，y为正实数，，， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：AD 11. 若函数存在最小值，则实数a的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数性质，分析分段函数各区间上值域，由存在最小值列不等式组求参数范围，即可得答案. 【详解】由开口向上且对称轴为， 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 由在上递减，值域为； 又存在最小值，故满足，或无解， 所以. 故选：AB 12. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意作图，根据直线截距、两点斜率、两圆之间的位置关系，结合图像建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，整理可得，取得最大值时，如下图所示： 由，可得， 由，整理可得，可得圆心，半径为， 由图可得，化简可得，解得或（舍去），故A正确； 对于B，设，可得圆心，半径为，取得最大值时，如下图： 由图可知，，故B正确； 对于C，设，则为与连线的斜率，取得最大值时，如下图： 由，整理可得，由图可知，则，解得， 由图可得，故C错误； 对于D，设，整理可得，取得最大值时，如下图： 由，整理可得，由图可得，则， 解得或，由图可得，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为求解集即可. 【详解】由题设，可得， 所以不等式解集为. 故答案为： 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件得，即可得参数范围. 【详解】由题设，即. 故答案： 15. 若幂函数在上单调递增，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求得. 【详解】是幂函数，所以， 解得或， 当时，在上单调递减，不符合题意. 当时，在上单调递增，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 16. 已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性、单调性定义判断是在定义域上递增的奇函数，利用奇函数及单调性，将问题化为使能成立，进而求范围. 【详解】由，则，则， 由，则，则，且， 所以为奇函数， 令，则 ，而， 所以，即在上递增， 由奇函数的对称性知：在上递增，且在处连续， 综上，是在定义域上递增的奇函数， 由， 所以使能成立，即能成立， 故，即实数t取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设全集，集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合集合的交集和补集运算求解； （2）由题意可知，根据包含关系，分和两种情况分析求解. 【小问1详解】 当时，，又或， 所以． 【小问2详解】 “”是“”必要条件，故． 当时，，所以，符合题意； 当时，需满足，解得， 综上所述，m的取值范围为或． 18. 已知，，． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）6； （2）. 【解析】 【分析】（1）由“1”的代换有，利用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为6． 【小问2详解】 因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 19. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若，当时，最小值为1，求m的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 小问1详解】 不等式，即， 当时，，解得， 当时，， ①若时，则，解得或， ②若时，则，解得， 综上：当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为； 【小问2详解】 ，对称轴为， 当时，即，此时在上单调递增， 所以，即， 当时，即，此时在上单调递减，在单调递增， 所以，即（舍去）， 综上所述，． 20. 某科技公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为60台，最大利润是1580万元． 【解析】 【分析】（1）分，两种情况分别求出函数解析式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解. 【小问1详解】 当时， 可得； 当时， 可得； 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为， 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元． 21. 已知函数为奇函数，. （1）求值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据奇函数性质将不等式转化为，利用定义法判断是上的单调增函数，然后转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为，因为函数为奇函数， 所以有，即． 又， 则， 所以； 【小问2详解】 因为函数为奇函数， 所以等价于， 任取，且， ， 因为，所以，则，，， 则，所以是上的单调增函数， 所以，即恒成立， 所以，解得． 22. 已知幂函数． （1）若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； （2）若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义得到方程，结合函数的单调性得到，从而求出的解析式； （2）先由（1）得到，，画出函数图象，数形结合得到在上的最大值在，，中取得，分，，结合函数单调性得到最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意，解得或， 当时，在R上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在定义域上不单调，所以， 设，则，时， 因为关于对称，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，在R上单调递增，满足要求， 由题意知，，作出大致图象如图： 易得，， 所以可判断在上的最大值在，，中取得． 当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则； ②若，则． 综上可知，在区间上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$