专题06 几何图形初步（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题06 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、展开图计算几何体的表面积与体积 【解惑】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（    ）倍． A．2 B．4 C．8 2．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 3．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，若，，，则该长方体的表面积和体积分别是多少？    类型二、正方体展开图相对面的字与图案 【解惑】今年的10月1号是第75个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“祝”字相对的字是（    ） A．祖 B．国 C．万 D．岁 【融会贯通】 1．如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 2．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    3．将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 类型三、七巧板 【解惑】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【融会贯通】 1．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，文文拼凑出爱心形状，若爱心的面积为32，那么七巧板中正方形的面积为 ． 3．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 类型四、平面旋转所得的立体图形 【解惑】如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 3．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是________． (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 类型五、截一个几何体 【解惑】用一个平面截一个四棱柱，所得的截面中边数最多的多边形是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【融会贯通】 1．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．正方体 D．圆锥 2．如图所示，几何体截面的形状是 ． 3．如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请在下面横线上写出截面的形状． 类型六、直线相交的个数问题 【解惑】在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【融会贯通】 1．在同一平面内，三条直线的交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．以上都不对 2．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有 个交点，10条直线两两相交，最多有 个交点． 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 类型七、两点确定一条直线、两点之间线段最短 【解惑】有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【融会贯通】 1．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 2．如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    3．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 类型八、钟面角与方向角 【解惑】如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 2．图书馆在学校( )偏( )的方向上，距离为( )． 3．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    类型九、同角的余角相等 【解惑】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 3．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 类型十、三角板中角度计算问题 【解惑】如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【融会贯通】 1．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 3．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【一览众山小】 1．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数互为相反数，则的值为（     ） A．8 B．0 C． D． 3．在下图的网格中选择一个涂上阴影，使全部阴影图形经折叠后能够形成一个正方体，一共有________种不同的涂法． A．4 B．3 C．2 D．1 4．有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子沿如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次后，骰子朝下一面的数字是 ． 5．已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 6．如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 7．如图，在长方形中，，现将这个长方形绕所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)该几何体是______，用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______；（填一种即可） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 8．【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 9．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 10．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、展开图计算几何体的表面积与体积 【解惑】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 【融会贯通】 1．正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（    ）倍． A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】若正方体的棱长为a，则表面积．据此即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则表面积为 若正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍 故选：B 【点睛】本题考查正方体的表面积公式．熟记公式即可． 2．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 【答案】8 【分析】根据展开图，得长方体的高是1，宽是，长是，根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得长方体的高是1，宽是，长是， 长方体的容积是， 故答案为：8． 3．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，若，，，则该长方体的表面积和体积分别是多少？    【答案】该长方体的表面积和体积分别是和 【分析】本题考查由展开图折叠成几何体，根据已知可得，再根据长方体的表面积和体积公式计算即可．掌握长方形的表面积和体积是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 长方体的表面积；； 长方体的体积：． 答：该长方体的表面积和体积分别是和． 类型二、正方体展开图相对面的字与图案 【解惑】今年的10月1号是第75个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“祝”字相对的字是（    ） A．祖 B．国 C．万 D．岁 【答案】A 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图来进行求解． 【详解】解：在该几何体中和“祝”字相对的字是“祖”； 故选A． 【融会贯通】 1．如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的展开图，通过观察和动手操作即可做出选择． 【详解】A.无图案，不符合题意； B、C折成正方形后，两个有斜线的面相对，不符合题意；. D. 折成正方形后，两个有斜线的面相邻，符合题意， 故选：D． 2．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 3．将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 【答案】柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31 【分析】本题考查了立体图形，关键在于熟练掌握立体图形的特征．根据题意，与相邻的数字有：，，8，9，所以与11相对；与相邻的数字有，，8，11，所以与9相对，则与8相对；柱体A、B每个表面的数字可得，相加求和即可． 【详解】解：根据题意得，与11相对，与9相对，与8相对， 柱体A后面的3个数字分别是：11、11、；左面的3个数字分别是8、、； 柱体B后面的3个数字分别是：、、；左面的3个数字分别是、9、9； 因此，柱体A的表面（不含底面）点数之和为， 柱体B的表面（不含底面）点数之和为， 答：柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31． 类型三、七巧板 【解惑】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意； 第③块的面积是整个面积的，选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意， 故选∶． 【融会贯通】 1．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查七巧板中的面积计算，根据阴影部分面积正方形面积的一半，求解即可． 【详解】解：， 故选B． 2．《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，文文拼凑出爱心形状，若爱心的面积为32，那么七巧板中正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了七巧板的认识、结合爱心形状的面积之和为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：设的面积为 结合七巧板的性质得各个面积的情况如图所示： 依题意， 解得 ∴正方形的面积为4 故答案为：4． 3．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形与正方形的画法，熟悉七巧板的结构是解题关键． 解此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，其中两个全等较大的，一个中等的，两个全等较小的；一个正方形；一个平行四边形． （1）用其中三块板拼成一个三角形，需使用一个小正方形与两个较小的等腰直角三角形； （2）用其中的四块板拼成一个三角形，需有一个正方形，一个较大的等腰直角三角形和两个较小的等腰直角三角形； （3）用全部七块板拼成一个英文字母“E”． 【详解】（1）3块板拼成一个三角形如图所示： （2）4块板拼成一个三角形如图所示： （3）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，可以拼出许多有趣的图案，如动物、人物、建筑、交通、字母、数字等．以下示例的是用全部七块板拼成一个字母“E”． 类型四、平面旋转所得的立体图形 【解惑】如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，解题的关键是观察平面图形的特征． 根据选项一一判断即可． 【详解】解：A、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意； B、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆柱，不符合题意； C、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意； D、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D， 故选：D． 2．将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， 以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， ， 最大的立体图形的体积是立方厘米， 故答案为：． 3．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是________． (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；面动成体； (2)方案二得到的几何体的体积大． 【分析】本题考查了面动成体，利用长方形旋转得圆柱，熟记圆柱体积公式是解题关键． （1）根据长方形旋转是圆柱，可得答案； （2）根据圆柱的体积公式计算，可得答案． 【详解】（1）解：长方形旋转可以得到圆柱，说明的事实是面动成体； 故答案为：圆柱；面动成体； （2）解：方案一：（）， 方案二：（）， ∵， ∴方案二得到的几何体的体积大； 类型五、截一个几何体 【解惑】用一个平面截一个四棱柱，所得的截面中边数最多的多边形是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据用平面去截四棱柱时最多与6个面相交即可得到答案． 【详解】解：用平面去截四棱柱时最多与6个面相交，即所得的截面中边数最多的多边形是六边形， 故选：C． 【融会贯通】 1．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．正方体 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的截面，掌握几何体与它的截面是一个互逆的思维过程是解题的关键． 通过观察可以发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，据此即可解答． 【详解】解：∵通过观察可以发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点， ∴这个长方体的内部构造可能是圆锥， 故D正确． 故选：D． 2．如图所示，几何体截面的形状是 ． 【答案】长方形 【分析】本题考查了截一个几何体的应用，目的是培养学生的空间想象能力和动手操作能力．根据几何体是长方体，进行截面即可判断形状． 【详解】解：由图可知，截面的形状是长方形． 故答案为：长方形． 3．如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请在下面横线上写出截面的形状． 【答案】正方形；正方形；长方形；长方形 【分析】本题考查正方体的截面，解题时，要注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可． 【详解】解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是正方形； （2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是正方形； （3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是长方形． 故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形． 类型六、直线相交的个数问题 【解惑】在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 【融会贯通】 1．在同一平面内，三条直线的交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线的交点，关键是分情况讨论．分4种情况讨论，即可解决问题． 【详解】解：若三条直线平行，交点个数是0； 若三条直线经过同一个点，交点个数是1； 若三条直线中，只有两条直线平行，交点个数是2； 若三条直线两两相交，且不经过同一个点，交点个数是3． 因此在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3． 故选：D． 2．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有 个交点，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是相交线，得到在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点是解题的关键． 【详解】解：解：三条直线两两相交交点数， 四条直线两两相交交点数， 五条直线两两相交交点数， 由此推出n条直线两两相交交点数． ∴10条直线两两相交，最多有， 故答案为：，． 3．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 类型七、两点确定一条直线、两点之间线段最短 【解惑】有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，从两点之间起到的作用，用途出发，试想一个点会不会达到如此的效果即能判断．①根据两点确定一条直线的性质即可求解；②对，两点之间线段最短，减少了距离；③对，两点之间线段最短，减少了距离． 【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，符合题意； ③两点之间线段最短，减少了距离，符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 【答案】C 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：C． 2．如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    【答案】 ③ 两点之间，线段最短 【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接、的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短． 【详解】解：依题意， 从地到地共有五条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短． 故答案为：③，两点之间，线段最短 3．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 类型八、钟面角与方向角 【解惑】如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵在时，时针位于3与4中间，分针指到6上，中间夹份， ∴时针与分针的夹角是． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】A 【分析】本题主要考查的是方向角的概念．根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：由图形可知：港口B相对货船A的位置可描述为南偏西方向，相距40海里处． 故选：A． 2．图书馆在学校( )偏( )的方向上，距离为( )． 【答案】 南 西 200 【分析】本题主要考查了方位角的应用，根据上北下南，左西右东，结合图示即可得到答案． 【详解】解：由图可知，图书馆在学校南偏西的方向上，距离为， 故答案为：南；西；200． 3．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 类型九、同角的余角相等 【解惑】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，需结合余角和补角的定义进行求解； 如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据图象求解即可． 【详解】解：A．由图可知，所以与互余，故本选项错误； B．同角的余角相等，所以，故本选项正确； C．由图可知，但推不出，故本选项错误； D．由图可知，所以和互补，故本选项错误． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 2．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】此题考查了余角的性质，，，那么，即可得到依据是同角的余角相等． 【详解】解：将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是同角的余角相等， 故答案为：同角的余角相等 3．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 类型十、三角板中角度计算问题 【解惑】如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，比较角的大小的方法有：(1)估测法；(2)度量法；(3)叠合法；(4)推理法． 根据已知图形可知，，减去公共部分后大小关系不变，即可比较与的大小 【详解】∵， ∴，， ∴． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 2．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】180 【详解】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据进行求解即可． 【分析】解：由题意得，， ∴． 故答案为：180． 3．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【详解】解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【一览众山小】 1．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体展开图的对应线段，掌握先找对应点，然后确定对应线段是解题关键．根据图形得出与重合，点M与重合，点与点N对应，即可得出结果． 【详解】解：∵沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后， ∴与重合，点M与重合， ∴点与点N对应， ∴与线段重合． 故选：C． 2．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数互为相反数，则的值为（     ） A．8 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数的定义．根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵正方体相对两个面上的数互为相反数， ∴，，， 解得，，， ∴； 故选：A． 3．在下图的网格中选择一个涂上阴影，使全部阴影图形经折叠后能够形成一个正方体，一共有________种不同的涂法． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，正方体展开图规律：十一种类看仔细，中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，田七和凹要放弃． 根据正方体展开图的特点涂色即可． 【详解】解：如图，由四种不同的涂法． 故选A． 4．有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子沿如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次后，骰子朝下一面的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了探究规律．观察图形知道点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，分别确定出前四次滚动后朝下的点数；根据题意可知四次一循环，接下来用2025除以4，根据余数即可确定答案．解题的关键是根据题意掌握循环的规律． 【详解】解：观察图形知道点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，则点数1与点数6相对，且骰子朝下一面的点数是2，3，5，4依次循环， ∵， ∴滚动第2025次后与第1次相同， ∴朝下的点数为2， 故答案为：2． 5．已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查了余角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，根据互余的两个角的度数之和为90度建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为， ∴， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 6．如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上， ∴，， ， ，， ， 故答案为：． 7．如图，在长方形中，，现将这个长方形绕所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)该几何体是______，用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______；（填一种即可） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱； 圆（或矩形或椭圆，答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了点、线、面、体和截几何体及圆柱体体积，解题的关键是掌握圆柱的特征． （1）旋转得到的几何体为圆柱；截面有圆，矩形，椭圆等形状； （2）以长方形的长所在的直线旋转一周得到圆柱，底面半径为，高为，然后根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：长方形绕一边旋转后形成的几何体为圆柱；用一个平面去截圆柱，那么截面有圆、长方形、椭圆等形状； 故答案为：圆柱；圆（或矩形或椭圆，答案不唯一） （2）解： 圆柱的体积为． 答：该几何体的体积为． 8．【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3 【分析】本题主要考查了正方体的展开和折叠， 对于（1），根据正方体的折叠逐项判断； 对于（2），将正方体折叠可得各面相对的字，进而得出答案； 对于（3），画出示意图，再根据面积和体积计算公式计算即可． 【详解】（1）要围成一个无盖正方体纸盒，说明展开图有5个面，选项A不能制作成无盖正方体纸盒；选项B有4个面，不符合题意；选项D有6个面，不符合题意，只有选项C中的图形符合题意． 故选：C． （2）将正方体折叠可知“小”字对“环”字，“保”字与“卫”字． 故答案为：卫； （3）正方形四个角各剪去一个小正方形后，如图所示． 因为剪去的小正方形的边长为4cm， 所以无盖长方体纸盒的底面积为，容积为． 答：这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3． 9．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 10．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 【答案】(1)，，等角的余角相等 (2)与，与，与 (3) 【分析】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，补角的定义及角平分线的定义． （1）由已知进行等量代换可得，根据题意即可得出答案； （2）根据补角的定义：两角和为解答即可； （3）根据角平分线的定义得到，由即可解答． 【详解】（1）解：∵，①， ∴②， ∵， ∴， 在上面①到②的推导过程中，理论依据是：同角的余角相等； （2）解：∵，， ∴，即互为补角， ∵，， ∴互为补角，互为补角， 综上，与，与，与互为补角； （3）解：∵，且平分， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$