专题06 几何图形初步（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题06 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、欧拉公式 【解惑】综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【融会贯通】 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 3．十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： (1)如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱． (2)如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱． (3)如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱． (4)当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正边形，每个顶点处有条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数， 去掉分母后：， 将n看作常数移项：， 合并同类项：， 化系数为1：， 变形：． 分析：均为正整数，所以是正整数，所以，即，． 因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点． 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点． 类型二、长方体与正方体的无盖问题 【解惑】【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【融会贯通】 1．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 2．问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列___________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．    B．    C．    D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 3．综合与实践： 某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案： 方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒； 方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图； 问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； （2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； 实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 类型三、线段的n等分点 【解惑】如图，线段，，点M是线段的中点． (1)则线段的长度为 ； (2)在线段上取一点N，满足．求线段的长． 【融会贯通】 1．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 2．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 类型四、角平分线的n等分线 【解惑】下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【融会贯通】 1．如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 2．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 3．如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB． (1)求∠DCF的大小，并说明理由； (2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）． 类型五、最短路径问题 【解惑】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【融会贯通】 1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使的周长最小． 2．如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥（桥与河岸垂直），要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方?请在图中画出示意图. 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 类型六、线段的动点求t 【解惑】如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【融会贯通】 1．【知识回顾】 如图1：若数轴上的两点M、N，点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，则点M、点N的距离表示为，即线段． 例如：若数轴上的点M表示的数是，点N表示的数是4，则线段． 【简单应用】 （1）如图2，数轴上的A、B两点，且点A在点B左侧，点A表示的数为，点B表示的数为t，且，则　　； 【尝试运用】 如图3，数轴上的点M表示的数为，点N表示的数为4，点T是的中点． （2）点T表示的数为 　　； （3）数轴上的点S表示的数为，则点M是 　　的中点； （4）若点P、点Q在数轴上，点P是的中点，且，则点Q表示的数为 　　； 【问题创新】 如图4，点A是的中点． （5）点C表示的数为 　　（用含t的代数式表示）； （6）点D为数轴上异于点A的一点，B、C、D三点中恰有一点是另外两点连线的中点，则D表示的数为 　　（用含t的代数式表示）． 2．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 3．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 类型七、角旋转中的动点求t 【解惑】【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 2．已知：，、、、是内的射线．    (1)如图1，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，若，平分，平分．当绕点O在内旋转时求的大小； (3)在（2）的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，，求t的值． 3．已知，（本题所涉及的角均小于平角）．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作直线，且平分，求的度数； (3)如图3，点G是射线上一点，将线段绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转t秒（），当时，求此时t的值． 类型八、线段的新定义 【解惑】定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【融会贯通】 1．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 2．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 3．【阅读与思考】定义：线段上的一个点把这条线段分成相等的两条线段，则称这个点是这条线段的二等分点（中点），显然，一条线段的二等分点有1个，如图①； 若线段上的两个点把这条线段分成相等的三条线段，则称这两个点是这条线段的三等分点，如图②，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个． 【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个； 【知识运用】（2）如图④，已知，点P是的一个三等分点，求的长． 【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段的三等分点时，求t的值． 类型九、角的新定义 【解惑】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【融会贯通】 1． 【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，（或射线，）的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 （1）如图1，射线 　　（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线 　　（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； （2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒． ①当射线与射线重合时，运动停止．若射线是射线，的“三倍和谐线”时，求t的值； ②当射线与射线重合时，运动停止．若在射线旋转的同时， 绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的度数． 2．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    阅读理解： (1)角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） (2)如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 解决问题 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 3．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 类型十、线段与角之间的定值问题 【解惑】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知． (1)如图1，在的内部，且，则______； (2)如图2，在的内部，是四等分线，且，求的值； (3)如图3，，射线绕着点从开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为是四等分线，且，当在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均大于且不超过）． 2．【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 3．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【一览众山小】 1．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 5．是从的顶点O引出的一条射线，若，，则的度数是 °． 6．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 7．如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 8．聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 9．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 10．王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何图形初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、欧拉公式 【解惑】综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：． 【融会贯通】 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （2）不能； ∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为， 故答案为：14； ②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得 ， 解得， 所以正五边形为12块，正三边形为20块． ． 故答案为：8． 2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 【答案】(1)4，12，6，20 (2) (3)28 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（2）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2， 关系式为：； 故答案为：； （3）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为， 由题意得：， 解得． 故答案为：28． 3．十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： (1)如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱． (2)如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱． (3)如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱． (4)当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正边形，每个顶点处有条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数， 去掉分母后：， 将n看作常数移项：， 合并同类项：， 化系数为1：， 变形：． 分析：均为正整数，所以是正整数，所以，即，． 因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点． 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点． 【答案】(1)4；6 (2)8；12 (3)6；12 (4)30；12 【分析】（1）根据面数×每面的边数÷每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数×每个顶点的棱数÷2即可的棱数； （2）用正六面体有六个面×每个面四条棱÷每个顶点处有三条棱可得正六面体共8个顶点，用8个顶点数×每个顶点处有3条棱÷2正六面体共有=12条棱； （3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面×每个面有三棱÷每个顶点处有四条棱，它共有6个顶点，利用顶点数×每个顶点处有四条棱÷2可得正八面体12条棱； （4）正20面体每个面都是正n边形，每个顶点处有m条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数，可求，变形：，求正整数解即可． 【详解】（1）解：如图1，正四面体又四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱，共有个顶点， ∵共有4个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条， ∴正四面体共有条棱． 故答案为4；6； （2）解：如图2，正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱，共有个顶点， ∵正六面体共8个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条， ∴正六面体共有条棱． 故答案为：8；12； （3）解：如图3正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三棱，每个顶点处有四条棱，共有个顶点， ∵正八面体共有6个顶点，每个顶点处有4条棱， ∴正八面体共有条棱． 故答案为：6；12； （4）解：正20面体每个面都是正n边形，每个顶点处有m条棱，则共有条棱，有个顶点． ∴由欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数， 去掉分母后：， 将n看作常数移项：， 合并同类项：， 化系数为1： ， 变形： ． ∵均为正整数， ∴是正整数， ∴，即，． ∴正20面体共有30条棱；12个顶点． 故答案为：30；12． 【点睛】本题主要考查了正多面体顶点数，面数和棱数的关系，图形类的规律探索，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 类型二、长方体与正方体的无盖问题 【解惑】【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【融会贯通】 1．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3) 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． （1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）先求出所折叠成长方体纸盒的底面是边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 2．问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列___________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．    B．    C．    D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 【答案】（1）C；（2）；（3） 【分析】本题主要考查立体图形和平面图形的关系，以及容积的求解， （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）根据题目所给剪法可以得解边长，结合长方体的体积计算公式解答； （3）根据长方体的侧面展开图的模式即可求得长宽高，利用长方体的体积计算公式解答． 【详解】解：（1）制作一个无盖的正方体纸盒需要5个面，排除B和D，A有“田”字无法折叠为无盖的正方体纸盒， 故选：C． （2）该纸盒的容积为 ． （3）牛奶盒身的宽为． 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． 答：这个牛奶盒子的容积是． 3．综合与实践： 某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案： 方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒； 方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图； 问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； （2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； 实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了正方体的展开图等知识； （1）从而图形可以直观得出； （2）横着4个面，竖着3个面，从而得出结果； （3）从正方体的三类展开图可以得出结果． 【详解】解：（1）如图1， ∵， ∴； （2）如图2， ∵，， ∴； （3）如图3， 因为正方体的11种展开图中分为3类中，横排至少4个面， ∴正方体的棱长最大是， ∴表面积最大为：． 类型三、线段的n等分点 【解惑】如图，线段，，点M是线段的中点． (1)则线段的长度为 ； (2)在线段上取一点N，满足．求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图示,利用线段加减关系求解即可； （2）根据中点的定义可知，由，可知，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 又点M是AC的中点，， , ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段 (2) 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 2．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 3．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出来线段的和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，进而求出，则，由此即可得到； （2）设，则，．根据题意，得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则，，． 根据题意，得， 解得． ∴的长为． 类型四、角平分线的n等分线 【解惑】下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 2．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 3．如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB． (1)求∠DCF的大小，并说明理由； (2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析 (2)∠DCF=． 【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可； （2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°； （2）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=． 【点睛】本题考查了角的计算、列代数式，解题关键是掌握角的计算和根据题意列代数式． 类型五、最短路径问题 【解惑】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 【融会贯通】 1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使的周长最小． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，由于点A，B为定点，所以线段长度不变，所以的周长最小就是最小．作点A关于直线l的对称点，再连接，与直线l的交点即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． ∵点A和点关于直线l对称， ∴， ∴的周长， 此时的周长最小． 2．如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥（桥与河岸垂直），要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方?请在图中画出示意图. 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，解答本题的关键是构造平行四边形把点移动点的位置．因为桥的宽度是一定的，过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，根据两点、之间线段最短找出桥的一端位置，再作出即可． 【详解】解：过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，连接交河岸于点N，过点N作垂直于河岸，垂足为M，为C到B的最短线段，为建桥位置， ∵ ∴四边形AMNC是平行四边形 ∴ ∴ 又∵B、N、C三点在同一直线上 要使从点A处过桥到点B处的路程最短，即为建桥的位置. 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求； （3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． 类型六、线段的动点求t 【解惑】如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【答案】(1)2． (2)． 【分析】本题考查的是负整数的定义，线段中点的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意是关键． （1）先求解，，由中点的定义可得，再建立方程求解即可； （2）当点，相遇时，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，且为最大的负整数， ，，． 由题意，得，． 为的中点， ， 即， 解得． 的值为2． （2）解：根据题意，得，，． 当点，相遇时，由， ，解得． 当，相遇时，． 【融会贯通】 1．【知识回顾】 如图1：若数轴上的两点M、N，点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，则点M、点N的距离表示为，即线段． 例如：若数轴上的点M表示的数是，点N表示的数是4，则线段． 【简单应用】 （1）如图2，数轴上的A、B两点，且点A在点B左侧，点A表示的数为，点B表示的数为t，且，则　　； 【尝试运用】 如图3，数轴上的点M表示的数为，点N表示的数为4，点T是的中点． （2）点T表示的数为 　　； （3）数轴上的点S表示的数为，则点M是 　　的中点； （4）若点P、点Q在数轴上，点P是的中点，且，则点Q表示的数为 　　； 【问题创新】 如图4，点A是的中点． （5）点C表示的数为 　　（用含t的代数式表示）； （6）点D为数轴上异于点A的一点，B、C、D三点中恰有一点是另外两点连线的中点，则D表示的数为 　　（用含t的代数式表示）． 【答案】（1）2；（2）1；（3）；（4）或22；（5）；（6）或或 【分析】本题考查了数轴的知识，求线段距离，以及求线段中点的方法是解题关键． （1）根据距离的求法得，解得． （2）根据线段中点的求法得：． （3）经过检验，，得到M是的中点． （4）由，得，再分情况讨论：当P在N的左边，或当P在N的右边，即可求得． （5）根据点A是的中点，设C表示的数为：y，再根据线段中点的求法可得：，即可求出点C表示的数． （6）设D表示的数为：d，然后分三种情况讨论：B是的中点，C是的中点时，D是的中点，然后列式计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：2． （2）点T表示的数为：． 故答案为：1． （3）∵， ∴M是的中点． 故答案为：． （4）∵， ∴， 当P在N的左边时， P表示的数为：， ∵点P是的中点， 设Q表示的数为：x， ∴， ∴． 当P在N的右边时， P表示的数为：， ∵点P是的中点， 设Q表示的数为：x， ∴， ∴． 综上所述，点Q表示的数为：或22． （5）∵点A是的中点， 设C表示的数为：y， ∴， ∴． 故点C表示的数为：． （6）设D表示的数为：d， 当B是的中点时， ， ∴． 当C是的中点时， ， ∴． 当D是的中点时， ． 综上所述，D表示的数为或或． 2．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 3．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 类型七、角旋转中的动点求t 【解惑】【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)72 (2)10.5秒或20.5秒 (3)存在；7秒或14.5秒或22秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代式表示射线及射线转过的度数是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）分两种情况讨论，一是在外部，且时，则，于是得，求得；二是在内部，且时，由，得，于是得，求得； （3）分三种情况讨论，列方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：72． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）存在， 当时，， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分C时，则， ∴， 解得； 当平分时，则， ∴， 解得； 当平分时，则：， ∴， 解得：； 综上所述，或或． 【融会贯通】 1．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 2．已知：，、、、是内的射线．    (1)如图1，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，若，平分，平分．当绕点O在内旋转时求的大小； (3)在（2）的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）本题考查有关角平分线的角度计算，根据平分，平分得到， ，结合即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的角度计算，根据平分，平分得到， ，结合，即可得到答案； （3）本题考查动角问题，先根据旋转表示出，，再分别表示出，根据比例列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴ ； （3）解：由题意可得， ∵，，在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 3．已知，（本题所涉及的角均小于平角）．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作直线，且平分，求的度数； (3)如图3，点G是射线上一点，将线段绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转t秒（），当时，求此时t的值． 【答案】(1)的度数为30° (2)的度数为65° (3)t的值为或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）设，根据平角的定义，列出方程进行求解即可； （2）先求出的度数，进而求出的度数，再利用平角的定义，进行求解即可； （3）分在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）由题意，得：， ①当在的上方时，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当在的下方时，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上：t的值为或．    类型八、线段的新定义 【解惑】定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 【融会贯通】 1．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 【答案】(1)30或15 (2)①4秒或14秒；②秒或秒或135秒 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分、两种情况求解即可； （2）①分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可； ②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）当时，； 当时，． 综上所述：的长为或． 故答案为30或15； （2）①当点P、点Q相遇前，由题意得， ， 解得； 当点P、点Q相遇后，由题意得， ， 解得． 综上可知，t的值为4秒或14秒； ②当时，． 点P、点Q相遇前， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得； 点P、点Q相遇后， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得（舍去）； 综上可知，t的值为秒或秒或135秒． 故答案为：秒或秒或135秒． 2．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的幸福值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以． (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的幸福值 ； (2)若点P表示的数为，点A表示的数为3，点P关于点A的幸福值 ； (3)若点P表示的数为2，点A表示的数为a，点P关于点A的幸福值，求点A表示的数a； (4)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，则点P关于点A的幸福值 ； (5)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与关于原点对称，点表示的数为m，点A、点B分别表示数a、2，若，则a、m需满足条件： ． 【答案】(1)1 (2) (3)1或3 (4)或 (5)或 【分析】（1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于a的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点P、A在点O的同侧和点P、A在点O的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可． （5）根据题意，分别表示出，由可得关于a，m的含绝对值的等式，取绝对值符号即可求解． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：∵点P表示的数为，点A表示的数为3， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数为a， ∴， ∵点P关于点A的幸福值， ∴， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3． （4）解：①当点P、A在点O的同侧时（此处以点P、A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； ②当点P、A在点O的异侧时（此处以点P在原点左侧，点A在原点右侧来分析），如图， 由题意得，则， ∴； 故答案为：或． （5）解：∵点与关于原点对称，点表示的数为m， ∴点表示的数为，且， ∵点A、点B分别表示数a、2， ∴， ∴， ∵， ∴，即或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 3．【阅读与思考】定义：线段上的一个点把这条线段分成相等的两条线段，则称这个点是这条线段的二等分点（中点），显然，一条线段的二等分点有1个，如图①； 若线段上的两个点把这条线段分成相等的三条线段，则称这两个点是这条线段的三等分点，如图②，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个； 若线段上的三个点把这条线段分成相等的四条线段，则称这三个点是这条线段的四等分点．如图③，点C在线段上， 且， 则点C是线段的一个四等分点， 显然， 一条线段的四等分点有三个． 【类比探究】（1）一条线段的五等分点有 个；一条线段的n等分点有 个； 【知识运用】（2）如图④，已知，点P是的一个三等分点，求的长． 【延伸与拓展】（3）如图⑤，已知线段，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点 B方向运动，点Q从点 B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为，若点 P、点Q同时出发，当点P是线段的三等分点时，求t的值． 【答案】（1）4，；（2）14 或7 ；（3）t的值为或6 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，数形结合是解答本题的关键． （1）根据图①，图②，图③总结规律即可求解； （2）分两种情况求解即可； （3）分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵一条线段的二等分点有1个， 一条线段的三等分点有2个， 一条线段的四等分点有3个， …， ∴一条线段的五等分点有4个， 一条线段的n等分点有个， 故答案为：4， （2）当时，； 当时，． 所以的长为14 或7 ； （3）当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 所以当或6时，点P是线段的三等分点 类型九、角的新定义 【解惑】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 【融会贯通】 1． 【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，（或射线，）的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 （1）如图1，射线 　　（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线 　　（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； （2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒． ①当射线与射线重合时，运动停止．若射线是射线，的“三倍和谐线”时，求t的值； ②当射线与射线重合时，运动停止．若在射线旋转的同时， 绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的度数． 【答案】（1）不是，是；（2）①或；②或． 【分析】本题主要考查新定义下的角度的计算、角平分线的定义和解一元一次方程， 根据题意“双倍和谐线”找，或的关系，但没有符合条件的，故不是；根据题意可得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； ①由题意得：，，列出“三倍和谐线”或，分别求解即可；②由题意得，，，，则有，结合“三倍和谐线”列出或分别求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，或，则射线不是射线，的“双倍和谐线”； 根据题意得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； 故答案为：不是，是； （2）①由题意得：，， ∵射线是射线，的“三倍和谐线”， ∴或． 当时，如图， 则：．解得：； 当时，如图， 则：．解得：． 综上，当射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或． ②由题意得：，，， ∴， ∵射线位于射线左侧， ∴． ∵射线是射线，的“三倍和谐线”， ∴或． 当时，如图， 则．解得： ． ∴； 当时，如图， ．解得： ． ∴． 综上，的度数为或． 2．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    阅读理解： (1)角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） (2)如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 解决问题 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)或或 【分析】（1）根据“幸运线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （3）分4种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：设是的平分线，则， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”， 故答案为：是； （2）解：①若，设，则， 由题意得，， 解得， ②若，设，则， 由题意得，， 解得， ③若，设，则， 由题意得，， 解得， ∴的度数为或或， 故答案为：或或； （3）解：当时，射线在内部， 此时，， ①当时，则， 即， 解得； ②当时，则， 即， 解得； ③当时，则， 解得； ④当时，则， 解得； 故的值是或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，新定义类问题，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析； (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题考查角度计算，余角定义，角平分线性质． （1）根据题干即可判断； （2）利用题意列出算式即可得到本题答案； （3）根据题意设，利用题意分情况讨论即可后列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分，且为的“分余线”， ∴设，则， ∴，即：，解得：， 综上所述：； （3）解：设，则， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵为的“分余线”， ①， ∴， ∴， ∴， ②， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 类型十、线段与角之间的定值问题 【解惑】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4； (2)当经过秒或后A，B相距2个单位长度； (3)当时，为定值，定值为44． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）求出，的值可得结论． （2）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （3）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． （2）设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度． （3）∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 【融会贯通】 1．已知． (1)如图1，在的内部，且，则______； (2)如图2，在的内部，是四等分线，且，求的值； (3)如图3，，射线绕着点从开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为是四等分线，且，当在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均大于且不超过）． 【答案】(1) (2) (3)当时，是定值，；当时，是定值， 【分析】本题考查了角的和差倍分计算，构造一元一次方程计算是解题的关键． (1)根据，设，则．根据列出方程求解即可． (2)根据是四等分线，设，则．根据题意列出方程求解即可． (3)根据题意，，则，根据是四等分线．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， 设，则． ∵，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． （2）∵是四等分线，设，则， ∴． （3）根据题意，，则， ∵是四等分线， ∴ ∴ ∴． 故当时，是定值，； 当时，根据题意，，则， ∵是四等分线， ∴ ∴ ∴． 故是定值， 当时，是定值，；当时，是定值，． 2．【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：， 且， ，， A、B两点的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时，， 解得：， 当点D在点B右边时，， 解得：， 点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点， ， ∴， 解得， 点C表示的数为； ②存在．理由如下： 由题意得，，，，，， ，，， ， 随着t的变化，上式的值为定值，   解得． 3．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)3或 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可； （2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可； （3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒） 则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 【一览众山小】 1．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 2．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，设，则，根据角之间的等量关系求出、、的大小，然后根据平角的定义建立关于的方程，求解即可．掌握角平分线的定义是解答的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 3．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【详解】解：， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 4．如图，小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是 ． 【答案】绿 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的颜色，由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝，可得绿色所在面相对的面上的颜色是黄色，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，和绿色所在面相邻的面有白、黑、红、蓝， ∴绿色所在面相对的面上的颜色是黄色， 即和黄色所在面相对的面上的颜色是绿色， 故答案为：绿． 5．是从的顶点O引出的一条射线，若，，则的度数是 °． 【答案】或120 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，掌握数形结合以及分类讨论思想成为解题的关键． 分在内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可． 【详解】解：①如图所示：当在内部时， ∵，， ∴， ∴； ②如图所示：当在外部时， ∵，， ∴， ∴． 综上，的度数是或． 故答案为：或120． 6．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：14． 7．如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 【答案】(1)填写表格见解析； (2)． 【分析】（）结合三棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表； （）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，根据这个规律得出，，之间的关系； 此题主要考查了棱柱的面，顶点和棱之间的数量关系，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题的关键． 【详解】（1）解：根据三棱柱、五棱柱和六棱柱得： 三棱柱：个顶点，个面，条棱； 五棱柱：个顶点，个面，条棱； 六棱柱：个顶点，个面，条棱； 故填写表格如下： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 五棱柱 六棱柱 （2）由（）得知棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴， 故答案为：． 8．聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【答案】(1)70 (2)8 (3)见解析 【分析】本题考查长方体体积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体体积公式，会画长方体平面展开图是解题关键． （1）利用体积公式：长宽高计算即可； （2）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案； （3）根据长方体的平面展开图再画图即可． 【详解】（1）解： ． 该长方体纸盒的体积是． 故答案为：70； （2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．共有12条棱，4条没剪开， 聪聪一共剪开条棱； 故答案为：8； （3）解：如图，就是所画的图形（答案不唯一）． 9．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 10．王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21 (2)①；②存在，或 【分析】本题考查三角板有关的角度计算，一元一次方程与几何动点问题； （1）画出边平分时图形，根据角度关系求解即可． （2）①画出边平分时图形，根据角度关系求解即可；②画出时图形，根据角度关系求解即可，注意分类讨论． 【详解】（1）如图， ∵平分，， ∴, ∴边旋转的度数为， 解得， 故答案为：； （2）①如图， ∵平分，， ∴, 由题意可得，，， ∵， ∴， 解得； ②时，，， 如图，，相遇之前，，相遇之前，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 如图，，相遇之前，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 如图，，相遇之后，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或 6 学科网（北京）股份有限公司 $$