精品解析：中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷

标准学术能力诊断性测试2024年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知单位向量和，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷 7. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ） A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 8. 定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“为偶数”的概率为 B. 事件“ab为偶数”的概率为 C. 设，则X的数学期望为 D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________． 13. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________． 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）若，，求的面积； （2）记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 16. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，证明：平面； （2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 17. 已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 18. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）若，求a的取值范围； （3）若，记，讨论函数的零点个数． 19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 标准学术能力诊断性测试2024年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数性质确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，又， 所以， 故选：A． 2. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答案. 【详解】由，可得， 所以， 故， 故选：C 3. 已知单位向量和，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则， 由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为， 所以圆柱的表面积， 所以圆柱与球的表面积之比为1：1. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】，即， ，即， ， ，解得， ， . 故选：D. 6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 7. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ） A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换进行选择. 【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路： （1）先将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，故C正确，D错误； （2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位， 得的图象，故AB错误. 故选：C 8. 定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“为偶数”的概率为 B. 事件“ab为偶数”的概率为 C. 设，则X的数学期望为 D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定从中随机取一个数，从中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的概率计算可判断ABD；根据数学期望的计算可判断C； 【详解】从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b， 共有（种）可能； 对于A，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 故共有4种可能，则事件“为偶数”的概率为，A正确； 对于B，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 此时共有（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为，B正确； 对于C，的取值可能为， 则, 故，C错误； 对于D，的取值可能为， ， ， 故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确， 故选：ABD 10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出经过，，三点的截面，判断A的真假；作出异面直线与所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点到平面的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 直线交直线于，设. 因为， 因为三点共线，所以，因为，所以. 所以点在线段上. 设射线与射线交于点，连接交于点. 在线段上取点，使；在线段上取点，使. 依次连接，可得经过，，三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误； 对B：如图： 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，所以，故B正确； 对C：易知平面平面，平面，所以平面. 点，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确； 对D：如图 将绕旋转，使共面，则. 过作与直线垂直，垂足为. 在中，，，，所以，，， 所以.故D正确. 故选：BCD 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C， ， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项展开中含有的项满足的条件，再根据为正整数求出数列的通项公式. 【详解】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率. 【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值. 【详解】函数，令，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 因此当时，，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）若，，求的面积； （2）记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解； （2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 16. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，证明：平面； （2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，，即， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ∴，又平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列方程，即可得求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵底面，底面， ∴，，又， 以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示： 令，则， ，则， ， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， ∵二面角的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，∴， 解得，所以. 17. 已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由： 由题意可设直线的方程为，，则，如图所示： 可得直线的方程为：， 因为， 将其代入直线方程，可得， 可整理得：， 联立方程得， 则， 所以，即， 将其代入式中，可得直线方程为：， 可见直线过定点， 所以直线过定点，坐标为. 【解析】 【分析】（1）据题意可知是正三角形，由直线垂直于，可证，由此可知 ，，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，，则，得到直线方程，直曲联立， 由韦达定理可得，进而得到，代入直线方程可求出定点. 【小问1详解】 由题意可知， 因为离心率为， 所以， 所以，故是正三角形，如图所示： 若直线，则直线垂直平分线段， 所以， 由于的周长为，故的周长为， 由定义可知：， 所以的周长为，故， 所以，故， 所以椭圆的方程：. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）若，求a的取值范围； （3）若，记，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）证明：由题设且，则， 所以在上单调递减，故，得证； （2）； （3）时有两个零点；时有一个零点. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究区间单调性，即可证结论； （2）问题化为研究时恒成立，应用导数求右侧最值，即可得范围； （3）根据解析式有，在将问题化为研究与在上的交点情况，讨论参数a的符号，结合导数研究交点，即可确定原函数零点个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由解析式，易知时恒成立， 当，只需恒成立， 令且，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故，即在上单调递增，且， 对于，，则， 故在上递增，且时， 综上，，即. 【小问3详解】 由题设，且定义域为，显然， 令，且， 只需研究与在上的交点情况， 若，则在上递减，在上递增，且时， 而，即在上递减，且， 又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓， 故与在上有且仅有一个交点， 此时，在有两个零点； 若，在恒成立，而恒成立， 故与在上无交点， 此时，在有一个零点； 综上，时有两个零点；时有一个零点. 19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）当时，对甲获胜的场数有影响．当时，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． （2）证明：由题意， ， ， 综上，，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设写出列联表，应用卡方公式得，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案； （2）根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到，并化简，即可证； （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到，进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小. 【小问1详解】 由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下， 甲获胜场数 乙获胜场数 5局3胜 7局4胜 所以，若， 当时，根据小概率值的独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响． 当时，根据小概率值的独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局， 设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况： 第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为， 则，得， 若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况， 甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜； 甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为， 所以， 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得， 所以， 则 ， 由，所以，得. 【点睛】关键点点睛：第三问，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $