北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷

北京三中2024一2025学年度第一学期学业测试 高二年级数学期中试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知直线过点和点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 1 4. 以点为圆心，半径为2的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 已知向量，，，若，，共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 8. 若圆与圆外切，则＝（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 9. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 空间向量，且，则__________，__________． 12. 试给出一组使两条直线与互相垂直的实数a，b的值，它们分别是__________；__________． 13. 已知椭圆的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为，离心率为．则椭圆的标准方程是__________． 14. 已知点，，点P在直线上，则最小值等于______． 15. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号） ①若，则； ②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为； ③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为； ④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知三角形的顶点为，，. （1）求BC边上的中线所在直线方程； （2）求BC边上的高线所在直线方程. 17. 如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱AB，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知圆上三点坐标分别为． （1）求该圆的一般方程； （2）求弦BC垂直平分线的方程； （3）求的面积． 19. 已知椭圆C：， （1）求椭圆的离心率. （2）已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标. （3）已知点，P是椭圆C上的动点，求的最大值及相应点P的坐标. 20. 如图，正四棱锥的侧棱的长是底面边长的倍，P为侧棱上的点． （1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 21. 已知圆． （1）求过点且与圆心距离为2的直线方程； （2）设直线与圆的两个交点分别为A，B，M为劣弧AB上一动点，求面积的最大值； （3）判断直线与圆的位置关系． 北京三中2024一2025学年度第一学期学业测试 高二年级数学期中试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 【12题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】8 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）5 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）最大值，此时点P的坐标是 【20题答案】 【答案】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面， 则可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系如图． AI 设底面边长为，则高， 于是S，D，C， 则＝，＝， ∵，故，从而； （2） （3）存在，且 【21题答案】 【答案】（1）或 （2） （3）当时，直线与圆相交. 当时，直线与圆相切. 当时，直线与圆相离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $