3.1 方程（第2课时 等式的基本性质）（同步课件）数学新教材沪科版七年级上册

3.1 方程 沪科版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 第二课时 等式的基本性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.利用等式的基本性质对等式进行变形（重点） 2.会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.（重点、难点） 情景导入 问题1 对于方程 x + 2 = 4， 3x = 6，你能用所学知识求出它们的解吗? 问题2 我们注意到，方程是等式，解方程的过程实际上就是等式的变形过程，那么等式有哪些基本性质呢？使得我们能够这样操作而不改变等式的真实含义呢？ 新知探究 = b 观察：如图，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的物体，天平平衡，这直观地说明 a = b. a b C C a +c +c 这时，如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平还保持平衡吗?反映的数量关系是什么呢？ a = 如图，天平还保持平衡吗？这又反映了怎样的数量关系呢？ b 3 3 等式有如下性质： 性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式. 如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c. 性质2 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式. 如果a=b，那么ac=bc， . 性质3（对称性） 如果a=b，那么b=a. 性质4（传递性） 如果a=b，b=c，那么a=c. 根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换. 课本例题 例2 解方程：3x - 3 = 21. 解：两边都加上3，得 3x = 21+3，（性质1） 即 3x = 24. 两边同除以3，得 x = 8.（性质2） 检验：把 x = 8 代入原方程，得 左边=3×8-3=21， 右边=21， 左边=右边. 所以x=8是原方程的解. 课堂练习 1.指出下列等式变形的依据. （1）如果5x+3=7，那么5x=4； （2）如果﹣8x=4，那么x= ； （3）如果﹣5a=﹣5b，那么a=b； （4）如果3x=2x+1，那么x=1； （5）如果﹣0.25=x，那么x=﹣0.25； （6）如果x=y，y=z，那么x=z. 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 等式的基本性质1 等式的基本性质3 等式的基本性质4 2.解方程并检验. （1）5x -7 =8； （2）27=7+4x； （3） . （1）解：两边都加上7，得5x=8+7，（性质1） 即5x=15. 两边同除以5，得x=3.（性质2） 检验：把x=3代入原方程，得左边=5×3-7=8，右边=8，左边=右边. 所以x=3是原方程的解. （2）27=7+4x； （2）解：由对称性，得7+4x=27.（性质3） 两边都减去7，得4x=27-7，（性质1）即4x=20. 两边同除以4，得x=5.（性质2） 检验：把x=5代入原方程，得左边=27，右边=7+4×5=27，左边=右边. 所以x=5是原方程的解. （3） . （3）解：由对称性，得 .（性质3） 两边都加上 ，得 ，（性质1）即 . 两边同除以 ，得x=2.（性质2） 检验：把x=2代入原方程，得左边= ，右边= ，左边=右边. 所以x=2是原方程的解. 1.填空，并在括号内注明是根据等式的哪条基本性质变形的. （1）如果x+7=10，那么 x = 10 -___. （ ） （2）如果 =3，那么 x=___. （ ） （3）如果2x - ，那么2x =___. （ ） （4）如果-4x=2，那么 x =___. （ ） 等式的基本性质1 7 6 等式的基本性质2 0 等式的基本性质1 等式的基本性质2 习题3.1 2.根据等式的基本性质解下列方程，并检验. （1）x+7=4；（2）5x=4x+3；（3）-2x=6；（4）0.5x+1=3. （1）解：两边都减去7，得x=4-7，（性质1）即x=-3. 检验：把x=-3代入原方程，得左边=-3+7=4，右边=4，左边=右边. 所以x=-3是原方程的解. （2）解：两边都减去4x，得5x-4x=3，（性质1）即x=3. 检验：把x=3代入原方程，得左边=5×3=15，右边=4×3+3=15，左边=右边. 所以x=3是原方程的解. （3）解：两边都除以-2，得x=-3.（性质2） 检验：把x=-3代入原方程，得左边=(-2)×(-3)=6，右边=6，左边=右边. 所以x=-3是原方程的解. （4）解：两边都减去1，得0.5x=3-1.（性质1）即0.5x=2. 两边同除以0.5，得x=4.（性质2） 检验：把x=4代入原方程，得左边=0.5×4+1=3，右边=3，左边=右边. 所以x=4是原方程的解. 3.在解方程x-2=3时，小华的求解过程如下： x-2=3 = x =3+2=5. 这样写对不对？为什么？应该怎样写？ 解：不对，不能用连等，应该为x-2=3，x=3+2，x=5. 4.根据题意，设未知数，列出方程. （1）小赵为班级买三副同样的羽毛球拍，付了300元，找回15元. 羽毛球拍的单价是多少? （2）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位.有多少间宿舍? 解：设羽毛球拍的单价是x元. 根据题意，得300-3x=15. 解：设有y间宿舍. 根据题意，得4(y-1)=3y+5. （3）某校七年级240名同学参加了美术、音乐和体育活动，每人只参加一项，其中参加体育活动的人数是参加美术活动的人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍.参加美术活动的同学共有多少名? 解：设参加美术活动的同学有z名. 根据题意， 得 z+2z+3z=240. 分层练习-基础 知识点1　等式的基本性质 1. [母题 教材P97习题T1]根据等式的基本性质填空： (1)如果 x －5＝3，那么 x ＝3＋ ⁠； (2)如果 x ＝－3，那么 x ＝ ⁠； (3)如果5 x ＋1＝－1，那么5 x ＝ ，从而 x ＝ ⁠. 5　 －9　 －2　 － 2. 下列各式运用等式的基本性质变形，正确的是(　D　) A. 由 a ＝ b ，得 ＝ B. 由－3 x ＝－3 y ，得 x ＝－ y C. 由 ＝1，得 x ＝ D. 若－2 a ＝－2 b ，则 a ＝ b D 3. 若 a ＋2 b －1＝0，根据等式的基本性质，不能得到的等式为(　D　) A. a ＝－2 b ＋1 B. a －1＝－2 b C. 1＝ a ＋2 b D. b ＝ － a D 4. 下面说法不正确的是(　A　) A. 若 ac ＝ bc ，则 a ＝ b B. 若 a ＝ b ，则 a ＋ c ＝ b ＋ c C. 若 ＝ ，则 a ＝ b D. 若 a ( c2＋1)＝ b ( c2＋1)，则 a ＝ b A 5. [新趋势·学科综合 2022·滨州]在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两端的电压 U 、导体的电阻 R 之间有以下关系： I ＝ .去分母，得 IR ＝ U ，那么其变形的依据是(　B　) A. 等式的基本性质1 B. 等式的基本性质2 C. 合并同类项 D. 以上都不是 B 知识点2　用等式的基本性质解方程 6. [2024·合肥实验学校模拟]解方程－ x ＝12时，应在方程 两边(　D　) A. 同时乘－ B. 同时乘4 C. 同时除以 D. 同时除以－ D 7. 下列利用等式的基本性质解方程，正确的是(　D　) A. 由 x －5＝6，得 x ＝1 B. 由5 x ＝6，得 x ＝ C. 由－5 x ＝10，得 x ＝2 D. 由 x ＋3＝4，得 x ＝1 对于A选项， x －5＝6，解得 x ＝11，故错误；对于B选项，5 x ＝6，解得 x ＝ ，故错误；对于C选项，－5 x ＝10，解得 x ＝－2，故错误；对于D选项， x ＋3＝4，解得 x ＝1，故正确. 【点拨】 【答案】 D 8. 运用等式的性质解下列方程并检验： (1)－2 y ＋1＝－1；　　 【解】两边都减去1，得－2 y ＝－2. 两边同除以－2，得 y ＝1. 检验：把 y ＝1代入原方程， 得左边＝－2＋1＝－1＝右边， 所以 y ＝1是原方程的解. 　　(2) x －1＝－5. 【解】两边都加上1，得 x ＝－4.两边同除以 ，得 x ＝－6.检验：把 x ＝－6代入原方程，得左边＝ ×(－6)－1 ＝－5＝右边.所以 x ＝－6是原方程的解. 易错点　忽视除式不为0而错用等式的基本性质 9. 阅读理解题： 下面是小明将等式 x －4＝3 x －4进行变形的过程： x －4＋4＝3 x －4＋4，① x ＝3 x ，② 1＝3.③ (1)步骤①的依据是 ⁠； 等式的基本性质1　 (2)小明出错的步骤是 (填序号)，错误的原因是 ⁠ ⁠； (3)给出正确的解法. 【解】x －4＝3 x －4， x －4＋4＝3 x －4＋4， x ＝3 x ， x －3 x ＝0，－2 x ＝0， x ＝0. ③　 等 式的两边同时除以 x ， x 可能为0　 分层练习-巩固 10. [易错题]下列等式变形：①如果 ax ＝ ay ，那么 x ＝ y ； ②如果 a ＝ b ，那么 ＝ ；③如果｜ a ｜＝｜ b ｜，那 么 a ＝ b ；④如果4 a ＝7 b ，那么 ＝ .其中正确的有 (　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 11. [新视角 规律探索题]如图，用若干根相同的小木棒拼成 图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要 14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样 的方法拼成的第 n 个图形需要2 030根小木棒，则 n 的值 为(　B　) A. 253 B. 254 C. 336 D. 337 【点拨】 由题意知，第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要6×2＋2＝14(根)小木棒， 第3个图形需要6×3＋2×2＝22(根)小木棒…… 按此规律，第 n 个图形需要6 n ＋2( n －1)＝8 n － 2(根)小木棒. 令8 n －2＝2 030，解得 n ＝254. 【答案】 B 12. 如果关于 x 的方程2 x ＋1＝3和方程 ax －4＝1的解相同， 那么 a ＝ ⁠. 【点拨】 由方程2 x ＋1＝3，得 x ＝1， 把 x ＝1代入 ax －4＝1中， 得 a －4＝1，解得 a ＝5. 5　 13. [新视角·新定义题 2024·广州天河区期末]定义一种新运 算，观察下列各式，并解决问题： 1△4＝1×3＋4＝7； 2△7＝2×3＋7＝13； 5△(－1)＝5×3＋(－1)＝14. (1)5△8＝ ， a △ b ＝ ⁠； 23　 3 a ＋ b 　 (2)已知(－5)△( m △3)＝12，求 m 的值. 【解】由题意，得 m △3＝3 m ＋3， 则(－5)△(3 m ＋3)＝－15＋3 m ＋3＝3 m －12， 所以3 m －12＝12.解得 m ＝8. 14. [新考法 图文信息法] a ， b ， c 三种物体之间的质量关系 如图所示. 根据图中信息，回答问题： (1) a ， b ， c 三种物体就单个而言，哪种最重？ 【解】根据题图，知2 a ＝3 b ，2 b ＝3 c ， 所以 a ＝ b ， b ＝ c .所以 a ＝ c . 因为 c ＞ c ＞ c ，所以 a ＞ b ＞ c . 所以 a ， b ， c 三种物体就单个而言， a 最重. (2)若天平一边放一些物体 a ，另一边放一些物体 c ，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体 a 和物体 c ？ 【解】由(1)知 a ＝ c ，所以4 a ＝9 c . 所以若天平一边放一些物体 a ，另一边放一些物体 c ，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放4个物体 a 和9个物体 c . 分层练习-拓展 15. [新视角 材料阅读题]小明课后利用方程的知识探索发现所有纯循环小数都可以化为分数，例如：化0. 为分数的解决方法是：设 x ＝0. ，即 x ＝0.333…，将方程两边都乘10，得10 x ＝3.333…，即10 x ＝3＋0.333….因为 x ＝0.333…，所以10 x ＝3＋ x ，所以9 x ＝3，所以 x ＝ ，所以0. ＝ . 尝试解决下列问题： (1)把0. 化成分数为 ⁠. 【点拨】 设 y ＝0. ，即 y ＝0.111…， 将方程两边都乘以10，得10 y ＝1.111…， 即10 y ＝1＋0.111…. 因为 y ＝0.111…，所以10 y ＝1＋ y ， 所以9 y ＝1，所以 y ＝ ，所以0. ＝ . 　 (2)请利用小明的方法，把纯循环小数0. 化成分数. 【解】设 z ＝0. ，即 z ＝0.161 6…， 将方程两边都乘以100，得100 z ＝16.161 6…， 即100 z ＝16＋0.161 6…. 因为 z ＝0.161 6…，所以100 z ＝16＋ z ， 所以99 z ＝16，所以 z ＝ ，所以0. ＝ . 课堂小结 等式的基本性质 根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量变换. 1. 若 a = b，则 a + c = b + c，a - c = b - c； 2. 若 a = b，则 ac = bc， 3. 若 a = b，则 b = a；(对称性) 4. 若 a = b，b = c，则 a = c. (传递性) $$