3.1 方程 讲义 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

3.1 方程 · 讲义 3.1 方程 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　方程的概念与方程的解 2 题型 1　方程与一元一次方程的辨认 3 题型 2　方程的解及其检验 4 题型 3　列方程与用字母表示数的区别 5 微专题 2　等式的性质与等式变形 5 题型 1　等式的性质与变形正误 6 题型 2　等式变形的依据 7 题型 3　天平模型与等式性质 8 题型 4　等式性质的综合应用 8 微专题 3　列方程与实际问题 9 题型 1　直接设元列方程 10 题型 2　情境转化列方程 10 题型 3　设元列方程综合 11 微专题 4　解方程与含参方程 12 题型 1　利用等式的性质解方程 13 题型 2　已知方程的解求参数 14 题型 3　解的特殊性与限制条件 15 题型 4　整体代入与新定义运算 16 一、本讲导航 学习目标 1．理解方程的概念，会判断一个式子是否为方程，理解方程的解的意义并会规范检验。 2．掌握等式的两条性质，能说明每一步等式变形的依据，会利用性质进行恒等变形。 3．能根据实际问题中的相等关系设未知数、列方程，体会方程是刻画数量关系的模型。 4．会利用等式的性质解一元一次方程并检验，能由方程的解反求参数的值。 5．了解设未知数列方程与用字母表示数的区别与联系，初步形成模型观念。 重点与难点 重点　方程与方程的解的概念；等式的性质及其依据；列方程；利用等式性质解方程。 难点　① 实际问题中相等关系的寻找与翻译；② 每一步变形依据的规范表述；③ 由方程的解反求参数时的代入与检验。 知识网络 方程 →（概念）方程 · 方程的解 · 一元一次方程 →（工具）等式的性质 1、2 →（建模）设未知数列方程 →（求解）利用等式性质解方程 →（逆向）已知解求参数。 微专题 1　方程的概念与方程的解 模块导学 方程的概念与方程的解 含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。判断一个式子是不是方程，关键看两点：一是是否为等式，二是是否含有未知数。 知识梳理 知识点 1　方程（重点） ① 方程：含有未知数的等式叫做方程。 ② 方程必须具备两个条件：(1) 是等式；(2) 含有未知数。两者缺一不可。 ③ 【历史小框】1859 年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为「方程」，即将含有未知数的一个等式称为方程，至今一直这样沿用。 ④ 情境说明：「光有式子不够，得有等号、有未知数，才叫方程！」——意在强调方程必须同时是等式且含有未知数。 ⑤ 点睛：方程必须同时满足两个条件；未知数的个数不一定是一个，未知数也可以用其他字母表示。 知识梳理 知识点 2　一元一次方程（重点） ① 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ② 判断要同时满足三个条件：等号两边都是整式；只含一个未知数；未知数的次数都是 1。缺一不可。 ③ 反例：x 在分母不是整式；x² 次数为 2； 含两个未知数——都不是一元一次方程。 知识梳理 知识点 3　方程的解与解方程（重点） ① 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值。 ② 解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程。 ③ 辨析："方程的解"是一个值，"解方程"是一个过程——解与解方程是"成果"与"过程"的关系。 ④ 情境说明：钥匙与方程的解——「只有满足方程两边相等的值，才是打开方程这把锁的钥匙！」 知识梳理 知识点 4　本节知识归纳 ① 方程的概念：含有未知数的等式；两个条件——是等式、含未知数。 ② 一元一次方程：只含一个未知数、次数为 1、两边都是整式。 ③ 方程的解：使两边相等的未知数的值；解方程：求这个值的过程。 ④ 列方程与用字母表示数：前者为求未知量（结果是等式），后者为描述规律（结果是代数式），都以"字母表示数"思想为根基。 题型 1 方程与一元一次方程的辨认 　　例 1　　　★　下列各式中，是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 1　　　★　下列各式中，是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 2　　　★　下列各式是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 3　　　★　下列各式中，属于方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 2　　　★　已知式子：①=-1；②；③；④；⑤。其中是方程的有＿＿＿＿＿＿＿。 　 　 题型 2 方程的解及其检验 　　例 3　　　★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 4　　　★★　下列方程中，解是的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 5　　　★★　下列数中，是方程的解的是（　　） A．　　　B．0　　　 C．1　　　D．2　　　 　　变式 6　　　★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 7　　　★★　在和中，能使方程左右两边相等的是＿＿＿＿＿＿，故方程的解为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　★★★　关于的方程的一个解是，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 9　　　★★　是方程的解吗？ 　 　 　 　 　　变式 10　　　★★　判断括号内的数是不是它前面的方程的解： (1)； (2)． 　 　 　 　 题型 3 列方程与用字母表示数的区别 　　变式 11　　　★★　若等式可以变形得到，则a，b应满足的条件是（　　） A．互为相反数　　　B．互为倒数　　　 C．相等 D． 　　变式 12　　　★★　下列变形中，正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 　　变式 13　　　★★　把变形为，其方法是（　　） A．等式两边乘　　　B．等式两边除以　　　 C．等式两边减 D．等式两边加 　　例 4　　　★★★　设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈你的体会． 　 　 　 　 微专题 2　等式的性质与等式变形 模块导学 等式的性质与等式变形 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。天平是理解等式性质的直观模型，变形时两边必须同时进行同样的运算。 知识梳理 知识点 5　等式的性质（重难点） ① 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 ② 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 ③ 拓展：(1) 等式的传递性：若 ，，则 ；(2) 等式的对称性：若 ，则 。等式的性质是等式变形的依据，也是解方程的依据。 ④ 情境说明：一架天平两边各放「」与「10」——「两边同时减 4，天平仍然平衡——这就是等式的性质 1！」 ⑤ 易错：由 ac=bc 推出 必须说明 ，否则不成立（取 、、 时 ac=bc 但 ）。 知识梳理 知识点 6　利用等式的性质解简单的一元一次方程（重点） ① 一般步骤：第一步，利用性质 1，方程两边同时加（或减）同一个数（或式子），使方程逐步转化为 ax=b（）的形式；第二步，利用性质 2，两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），使系数化为 1，得 ，从而求出方程的解。 ② 【示例】解方程 ：两边减 1（性质1）得 ；两边除以 2（性质2）得 。 ③ 检验：一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值能否使原方程的两边相等。 题型 1 等式的性质与变形正误 　　例 1　　　★★　若，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 　　变式 1　　　★★　在，，，中，根据等式的性质变形能得到的个数为（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 　　例 2　　　★★　已知，则下列变形错误的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 3　　　★★　下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 　　变式 2　　　★★　利用等式的性质，下列变形不正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 　　变式 3　　　★★　根据等式的性质，下列变形不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 　　变式 4　　　★★　运用等式的性质变形正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 　　变式 5　　　★★　下列等式变形中，正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 　　变式 6　　　★★　下列等式变形中，不正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 　　变式 7　　　★★　下列方程的变形正确的是（　　） A．由，得　　　B．由，得　　　 C．由，得D．由，得 　　变式 8　　　★★★　有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 　 　 　　变式 9　　　★★★　有下列变形：①由，可得到；②由，可得到；③由，可得到．其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 　 　 题型 2 等式变形的依据 　　变式 10　　　★★　在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（　　） A．等式的性质1　　　B．等式的性质2　　　 C．等式的基本事实　　　D．无法确定　　　 　　例 4　　　★★　在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 11　　　★　用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （3）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （4）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 5　　　★★　已知，若变形为，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿；若变形为，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿．如果，，那么，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 3 天平模型与等式性质 　　变式 12　　　★★★　如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（　　） A．■=●　　　B．■=2●　　　 C．2■=4●　　　D．2■=●　　　 　　变式 13　　　★★★　如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（　　）个小白球． A．4　　　B．5　　　 C．6　　　D．7　　　 题型 4 等式性质的综合应用 　　变式 14　　　★　如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 15　　　★★★　小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.” （1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ （2）你能用等式的性质求出方程的解吗？ 　 　 　 　 　　变式 16　　　★★　已知，试用等式的基本性质比较与的大小． 　 　 　 　 　　变式 17　　　★★★　老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 　 　 　 　 微专题 3　列方程与实际问题 模块导学 列方程与实际问题 设未知数列方程解应用题，步骤是"审—设—列—解—验"：先审清题意找出相等关系，再设未知数并表示相关量，接着按相等关系列方程，最后解方程并检验是否符合实际。 知识梳理 知识点 7　列一元一次方程（重点） ① 一般步骤：(1) 审：审清题意，找出相等关系，分清题中的已知量、未知量；(2) 设：根据题意设出未知数；(3) 列：用含未知数的式子将相等关系中的量表示出来，从而列出方程。 ② 实际问题通过设未知数、列方程，转化为一元一次方程。 知识梳理 知识点 8　确定相等关系的方法（敲黑板） ① 根据周长、面积等公式列方程； ② 根据题目中的不变量确定相等关系； ③ 根据关键词确定相等关系：和差关系通常用「一共有……」「比……多……」「比……少……」表示，倍数关系通常用「是……的几倍」表示。 ④ 注意：根据实际问题列方程时，必须使方程两边的单位统一。 题型 1 直接设元列方程 　　例 1　　　★★　20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 　　变式 1　　　★★　将一箱苹果分给若干个小朋友，如果每个小朋友分个苹果，就会有人没有苹果；如果每个小朋友分个苹果，则正好多出个苹果．问有多少个小朋友？如果设有个小朋友，那么依题意可以列出的方程是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 　　变式 2　　　★★　我国“DF－41”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫），则“DF－41”导弹飞行多少分钟能打击到12000km处的目标？设飞行能打击到目标，可以列出的方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 　　例 2　　　★★　创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿．（不用化简） 　 　 　　变式 3　　　★★　若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 情境转化列方程 　　变式 4　　　★★★　已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　★★★　“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　★★★　根据图中的标注，列出方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　★★　方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填序号） 　 　 题型 3 设元列方程综合 　　例 3　　　★★　根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 　 　 　 　 　　变式 8　　　★★★　甲、乙两人分别从相距30km的两地骑车相向而行，甲骑车的速度是，乙骑车的速度是．甲先出发25min后，乙骑车出发，则乙出发多少小时后两人相遇（只列方程）？ 　 　 　 　 　　例 4　　　★★　根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． (1)甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； (2)某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 　 　 　 　 微专题 4　解方程与含参方程 模块导学 解方程与含参方程 利用等式的性质解方程：通过移项、合并同类项、系数化为1，把方程逐步化为 的形式。已知方程的解反求参数时，把解代入原方程得到关于参数的等式，再解这个等式。 知识梳理 知识点 9　已知解求参数与解的特殊性（重点） ① 已知方程的解求参数：把解代入原方程，得到关于参数的等式，解出参数即可。 ② 正整数解：先解出用参数表示的 x，再按整除条件枚举参数的取值。 ③ 整数解问题的关键：将未知数表示为两个整数的商，再利用约数分析。如 且 x、k 为整数，则 是 3 的约数 ±1、±3，故 k=±1 或 3 或 5。 知识梳理 知识点 10　整体代入 ① 方法：不单独求字母，把"某几项的整体"当作一个数代入。 ② 新定义运算：先从算例归纳法则，再把新定义"翻译"成普通方程求解。新定义问题的关键是准确理解定义的含义。 知识梳理 知识点 11　易错警示 ① 系数化为 1 时，不要将分子分母的位置颠倒； ② 两边同时除以字母系数前，先确认该系数不为 0，否则变形不成立； ③ 检验要左边、右边分别计算再比较，只算一边不算规范检验。 题型 1 利用等式的性质解方程 　　例 1　　　★★　利用等式的性质求方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 1　　　★★　利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 　 　 　 　 　　例 2　　　★★　利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． 　 　 　 　 　　例 3　　　★★　利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 　 　 　 　 　　变式 2　　　★　计算： 　 　 　 　 　　变式 3　　　★　计算 (1) (2) (3) (4) 　 　 　 　 题型 2 已知方程的解求参数 　　例 4　　　★★　若是方程的解，则a的值是（　　） A．　　　B．5　　　 C．1　　　D．　　　 　　例 5　　　★★　若是关于的一元一次方程的解，则的值为（　　） A．3　　　B．5　　　 C．7　　　D．9　　　 　　变式 4　　　★★　已知关于的方程的解是，则的值为（　　） A．3　　　B．7　　　 C．10　　　D．13　　　 　　变式 5　　　★★　关于的方程的解是，则（　　） A．3　　　B．　　　 C．0　　　D．1　　　 　　变式 6　　　★★　若是方程的解，则a的值为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 7　　　★★　若是关于的方程，则的值可以是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　★★　已知是关于的方程的解，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 9　　　★★　已知是关于的方程的解，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 10　　　★★　已知是关于的方程的解，则式子的值为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 11　　　★★　若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 12　　　★★　若是关于的方程的解，求代数式的值． 　 　 　 　 题型 3 解的特殊性与限制条件 　　变式 13　　　★★　已知式子的值为8，那么式子的值为（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 　　变式 14　　　★★★　设是互不相等的实数，且则下列结论正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 15　　　★★★　设是正整数，且，则值为（　　） A．3　　　B．2　　　 C．　　　D．　　　 　　例 6　　　★★★　阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（　　）. A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 16　　　★★★　若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 4 整体代入与新定义运算 　　变式 17　　　★★★　对任意的数a，定义：，已知，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 18　　　★★★　已知：，求的值． 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $3.1 方程 · 讲义 3.1 方程 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　方程的概念与方程的解 2 题型 1　方程与一元一次方程的辨认 3 题型 2　方程的解及其检验 4 题型 3　列方程与用字母表示数的区别 7 微专题 2　等式的性质与等式变形 9 题型 1　等式的性质与变形正误 9 题型 2　等式变形的依据 13 题型 3　天平模型与等式性质 15 题型 4　等式性质的综合应用 16 微专题 3　列方程与实际问题 17 题型 1　直接设元列方程 17 题型 2　情境转化列方程 19 题型 3　设元列方程综合 20 微专题 4　解方程与含参方程 21 题型 1　利用等式的性质解方程 22 题型 2　已知方程的解求参数 24 题型 3　解的特殊性与限制条件 27 题型 4　整体代入与新定义运算 29 一、本讲导航 学习目标 1．理解方程的概念，会判断一个式子是否为方程，理解方程的解的意义并会规范检验。 2．掌握等式的两条性质，能说明每一步等式变形的依据，会利用性质进行恒等变形。 3．能根据实际问题中的相等关系设未知数、列方程，体会方程是刻画数量关系的模型。 4．会利用等式的性质解一元一次方程并检验，能由方程的解反求参数的值。 5．了解设未知数列方程与用字母表示数的区别与联系，初步形成模型观念。 重点与难点 重点　方程与方程的解的概念；等式的性质及其依据；列方程；利用等式性质解方程。 难点　① 实际问题中相等关系的寻找与翻译；② 每一步变形依据的规范表述；③ 由方程的解反求参数时的代入与检验。 知识网络 方程 →（概念）方程 · 方程的解 · 一元一次方程 →（工具）等式的性质 1、2 →（建模）设未知数列方程 →（求解）利用等式性质解方程 →（逆向）已知解求参数。 微专题 1　方程的概念与方程的解 模块导学 方程的概念与方程的解 含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。判断一个式子是不是方程，关键看两点：一是是否为等式，二是是否含有未知数。 知识梳理 知识点 1　方程（重点） ① 方程：含有未知数的等式叫做方程。 ② 方程必须具备两个条件：(1) 是等式；(2) 含有未知数。两者缺一不可。 ③ 【历史小框】1859 年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为「方程」，即将含有未知数的一个等式称为方程，至今一直这样沿用。 ④ 情境说明：「光有式子不够，得有等号、有未知数，才叫方程！」——意在强调方程必须同时是等式且含有未知数。 ⑤ 点睛：方程必须同时满足两个条件；未知数的个数不一定是一个，未知数也可以用其他字母表示。 知识梳理 知识点 2　一元一次方程（重点） ① 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ② 判断要同时满足三个条件：等号两边都是整式；只含一个未知数；未知数的次数都是 1。缺一不可。 ③ 反例：x 在分母不是整式；x² 次数为 2； 含两个未知数——都不是一元一次方程。 知识梳理 知识点 3　方程的解与解方程（重点） ① 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值。 ② 解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程。 ③ 辨析："方程的解"是一个值，"解方程"是一个过程——解与解方程是"成果"与"过程"的关系。 ④ 情境说明：钥匙与方程的解——「只有满足方程两边相等的值，才是打开方程这把锁的钥匙！」 知识梳理 知识点 4　本节知识归纳 ① 方程的概念：含有未知数的等式；两个条件——是等式、含未知数。 ② 一元一次方程：只含一个未知数、次数为 1、两边都是整式。 ③ 方程的解：使两边相等的未知数的值；解方程：求这个值的过程。 ④ 列方程与用字母表示数：前者为求未知量（结果是等式），后者为描述规律（结果是代数式），都以"字母表示数"思想为根基。 题型 1 方程与一元一次方程的辨认 　　例 1　　　★　下列各式中，是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查方程的定义，解题的关键是掌握：含有未知数的等式叫方程．据此分析即可． 解：A．是方程，故此选项符合题意； B．是代数式，不是方程，故此选项不符合题意； C．不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； D．不是等式，不是方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 1　　　★　下列各式中，是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　方程两条件：是等式且含未知数。 两者兼备； 是等式但不含未知数； 不是等式； 是不等式。 　　答案　　　D 　　变式 2　　　★　下列各式是方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 解：A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程． 　　答案　　　D 　　变式 3　　　★　下列各式中，属于方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 　　答案　　　D 　　例 2　　　★　已知式子：①=-1；②；③；④；⑤。其中是方程的有＿＿＿＿＿＿＿。 思路分析　根据方程的定义进行判断即可. ∵含有未知数的等式叫做方程， ∴方程有：③④⑤. 　　答案　　　③④⑤ 点睛　本题考查方程的辨别，明确方程的定义是解题的关键. 题型 2 方程的解及其检验 　　例 3　　　★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查了解一元一次方程中检验解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题需要将题干中的分别代入所给的四个选项中，比较方程左右两边数值是否相等，即可求解本题． 解：A．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意； B．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意； C．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意． D．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值相等，所以是方程的解，符合题意． 故选D． 　　答案　　　D 　　变式 4　　　★★　下列方程中，解是的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，符合题意； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意． 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 5　　　★★　下列数中，是方程的解的是（　　） A．　　　B．0　　　 C．1　　　D．2　　　 解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 　　答案　　　C 　　变式 6　　　★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 　　答案　　　B 　　变式 7　　　★★　在和中，能使方程左右两边相等的是＿＿＿＿＿＿，故方程的解为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查解一元一次方程的解，分别把和x=-3代入方程=-2，看看左右两边是否相等，能使方程=-2左右两边相等的就是方程=-2的解．解题的关键是要明确：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 解：当时， 左边，右边， ∵左边右边 ∴不能使方程左右两边相等， ∴不是方程的解； 当时， 左边，右边， ∵左边右边 ∴能使方程左右两边相等， ∴是方程的解； 综上所述，在和中，能使方程左右两边相等的是，故方程的解为． 故答案为：；． 　　答案　　　　　　　 　　变式 8　　　★★★　关于的方程的一个解是，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解：∵关于的方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 　　答案　　　 　　变式 9　　　★★　是方程的解吗？ 思路分析　本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 　　答案　　　不是方程的解；是方程的解 　　变式 10　　　★★　判断括号内的数是不是它前面的方程的解： (1)； (2)． 思路分析　（1）（2）把括号内的数代入方程的左右两边，进一步判断即可. （1）解：把代入， 左边，右边， 因为左边=右边， 所以是原方程的解． （2）解：把代入方程， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是原方程的解． 　　答案　　　(1)是(2)不是 题型 3 列方程与用字母表示数的区别 　　变式 11　　　★★　若等式可以变形得到，则a，b应满足的条件是（　　） A．互为相反数　　　B．互为倒数　　　 C．相等D． 思路分析　本题主要考查等式的基本性质，根据等式的基本性质得到，再根据相反数的定义解决此题． 解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 12　　　★★　下列变形中，正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 思路分析　本题考查等式性质，方程求解．根据题意利用等式性质及解方程知识逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 解：A、当时等式无意义，故A选项错误，不符合题意； B、，去分母可得，故B选项正确，符合题意； C、如果，那么，故C选项错误，不符合题意； D、，两边同时乘以3整理得：，故D选项错误，不符合题意 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 13　　　★★　把变形为，其方法是（　　） A．等式两边乘　　　B．等式两边除以　　　 C．等式两边减D．等式两边加 思路分析　本题考查了等式的性质.依据等式的基本性质2即等式两边同时乘除以一个不为0的数，等式恒成立. 解：把变形为，只需要等式两边同时除以或者乘. 故选：B ． 　　答案　　　B 　　例 4　　　★★★　设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈你的体会． 思路分析　先分别梳理二者的核心内涵，理清各自的定义和适用场景；再梳理二者的联系，因为二者都是字母在代数场景中的应用，所以可以从发展层级、底层逻辑的共通点出发，梳理前者到后者的递进关系；最后结合代数应用的场景，总结二者在解决问题过程中的作用差异与逻辑关联． 略 　　答案　　　联系：1．二者核心都是字母表示数的代数思想，均通过字母替代数来刻画数量相关内容．2．用字母表示数是用字母表示数量关系的基础，设未知数列方程又以用字母表示数和数量关系为基础；列方程时需先用字母表示待求的未知数，再用含该字母的式子表示相关数量，最终构建等量等式，是用字母表示数量关系的典型应用．区别：1．目的不同．用字母表示数、表示数量关系的目的是抽象描述量的特征或量之间的关联，是对数量规律的通用表达；设未知数列方程的目的是求解特定问题中的未知量，最终得到未知数的具体取值．2．字母的含义不同．用字母表示数时的字母多为泛指的量（如用表示任意整数），用字母表示数量关系时的字母对应一类量（如用表示路程，表示速度，表示时间，表示三者的数量关系），取值范围通常较宽泛；方程中的未知数是特定问题里待确定的具体量，取值受问题背景约束．3．结果形式不同．用字母表示数的结果是用字母代指某类数，用字母表示数量关系的结果可以是代数式、等式、不等式等形式；设未知数列方程的结果是含有未知数的等式（即方程），专门用于求解未知量．体会：用字母表示数是代数学习的入门基础，实现了从具体数字到抽象表达的跨越，能更通用地呈现数量规律；用字母表示数量关系进一步梳理了量之间的关联，为问题解决提供了表达工具；设未知数列方程则是在此基础上通过构建等量关系，将未知问题转化为可求解的等式，是解决实际问题的重要方法．三者体现了代数从基础表达到问题解决的逻辑递进，是初中代数学习的核心主线． 微专题 2　等式的性质与等式变形 模块导学 等式的性质与等式变形 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。天平是理解等式性质的直观模型，变形时两边必须同时进行同样的运算。 知识梳理 知识点 5　等式的性质（重难点） ① 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 ② 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 ③ 拓展：(1) 等式的传递性：若 ，，则 ；(2) 等式的对称性：若 ，则 。等式的性质是等式变形的依据，也是解方程的依据。 ④ 情境说明：一架天平两边各放「」与「10」——「两边同时减 4，天平仍然平衡——这就是等式的性质 1！」 ⑤ 易错：由 ac=bc 推出 必须说明 ，否则不成立（取 、、 时 ac=bc 但 ）。 知识梳理 知识点 6　利用等式的性质解简单的一元一次方程（重点） ① 一般步骤：第一步，利用性质 1，方程两边同时加（或减）同一个数（或式子），使方程逐步转化为 ax=b（）的形式；第二步，利用性质 2，两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），使系数化为 1，得 ，从而求出方程的解。 ② 【示例】解方程 ：两边减 1（性质1）得 ；两边除以 2（性质2）得 。 ③ 检验：一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值能否使原方程的两边相等。 题型 1 等式的性质与变形正误 　　例 1　　　★★　若，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 1　　　★★　在，，，中，根据等式的性质变形能得到的个数为（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 思路分析　本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．据此相关性质进行逐个分析，即可作答． 解：依题意，在的两边同时除以3，等式仍成立，即； 在的两边同时减去4，等式仍成立，即； 在的两边同时减去7，然后同时除以，等式仍成立，即， 在的两边同时加上1，然后除以3，等式仍成立，即， 综上：根据等式的性质变形能得到的个数为3， 故选：C． 　　答案　　　C 　　例 2　　　★★　已知，则下列变形错误的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　逐项检验：A 同加 2、B 移项、C 同乘 −2 都符合等式的性质；D 由 得 ac=bc 需要 ， 时不成立——错误的是它。 　　答案　　　D 　　例 3　　　★★　下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 解：A选项，∵，两边同乘2得，移项得，故A错误. B选项，∵，两边同乘m得，故B错误. C选项，∵，两边同时加3得，移项得，故C正确. D选项，当时，恒成立，x与y不一定相等，故D错误. 　　答案　　　C 　　变式 2　　　★★　利用等式的性质，下列变形不正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　★★　根据等式的性质，下列变形不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 　　答案　　　C 　　变式 4　　　★★　运用等式的性质变形正确的是（　　） A．如果，那么　　　B．如果，那么　　　 C．如果，那么D．如果，那么 思路分析　根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 　　答案　　　D 　　变式 5　　　★★　下列等式变形中，正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 　　答案　　　B 　　变式 6　　　★★　下列等式变形中，不正确的是（　　） A．若，则　　　B．若，则　　　 C．若，则D．若，则 思路分析　等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 　　答案　　　C 　　变式 7　　　★★　下列方程的变形正确的是（　　） A．由，得　　　B．由，得　　　 C．由，得D．由，得 思路分析　等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 　　答案　　　A 　　变式 8　　　★★★　有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 思路分析　本题考查了等式的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握等式的基本性质. 注意除数不能为0． 解：①若，则无意义，若，等式左右两边同除以． ②若，等式左右两边同乘以． 故答案为：②． 　　答案　　　② 　　变式 9　　　★★★　有下列变形：①由，可得到；②由，可得到；③由，可得到．其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 思路分析　本题考查的是等式的性质，解决问题的关键是熟知等式的两个基本性质． 根据等式的性质对各小题进行逐一分析即可． ①、由，可得到,符合等式的性质，故符合题意； ②、由， 可得到，符合等式的性质，故符合题意； ③、由，将含小数的分母化为整数，方程可变为，题干中的变形将等式右边的错误地变成了，故变形错误，不符合题意． 故答案为：①②． 　　答案　　　①② 题型 2 等式变形的依据 　　变式 10　　　★★　在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（　　） A．等式的性质1　　　B．等式的性质2　　　 C．等式的基本事实　　　D．无法确定　　　 解：∵， ∴等式两边同乘，得； 该变形的依据为等式的性质2. 　　答案　　　B 　　例 4　　　★★　在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题主要考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数字或整式，等式仍然成立；等式的基本性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数字或整式，等式仍然成立．根据等式的性质，即可获得答案． 解：，去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故答案为：等式的基本性质2． 　　答案　　　等式的基本性质2 　　变式 11　　　★　用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （3）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （4）如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为的数（或字母），等式仍成立． （1）（2）分别根据等式的性质判断即可； （3）（4）分别根据等式的性质判断即可； （1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以； 故填：； （4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以； 故填：． 　　答案　　　(1)(2)(3)(4) 　　例 5　　　★★　已知，若变形为，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿；若变形为，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿．如果，，那么，则其依据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题需要根据等式的基本性质，对每个变形情况进行分析，确定其依据的等式性质． ①对于变形为，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时除以， ∴依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2． ②对于变形为，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时减1， ∴依据是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1． ③已知，，和都与相等，根据等量代换：如果，，那么 ∵变式是等式的传递， ∴依据是等量代换． 故答案为：等量代换． 　　答案　　　等式的基本性质2 等式的基本性质1 等量代换 点睛　本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质以及等量代换的思想是解题的关键． 题型 3 天平模型与等式性质 　　变式 12　　　★★★　如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（　　） A．■=●　　　B．■=2●　　　 C．2■=4●　　　D．2■=●　　　 解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 　　答案　　　D 　　变式 13　　　★★★　如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（　　）个小白球． A．4　　　B．5　　　 C．6　　　D．7　　　 由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 　　答案　　　B 题型 4 等式性质的综合应用 　　变式 14　　　★　如果，那么＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用等式的性质，两边同除以即可求出的值． 解：， 等式两边同时除以，得， ． 　　答案　　　 　　变式 15　　　★★★　小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.” （1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ （2）你能用等式的性质求出方程的解吗？ 思路分析　（1）等式两边除以的未知数也有可能是0，所以不能把等式两边都除以未知数； （2）根据等式的性质1即可求解. （1）略 （2）， 等式的两边同时加上2，得， 等式的两边同时减3x，得， 故的解为. 　　答案　　　（1）不对．理由：∵的解为，当两边除以x时，即两边除以0，∴不对．（2） 点睛　用到的知识点为：等式两边除以的数，应保证不为0的情况下结果才依然是等式． 　　变式 16　　　★★　已知，试用等式的基本性质比较与的大小． 解：等式两边都乘4，得， 等式两边都加上，得， 等式两边都除以3，得，所以． 　　答案　　　 　　变式 17　　　★★★　老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 思路分析　分两类讨论：① 当 时，等式两边都是 0，不论 m 为何值等式都成立；② 当 时，两边同除以 得 。所以甲的说法错误、乙的说法正确——"除以一个式子"必须保证它不为 0。 略 　　答案　　　甲同学的说法错误，乙同学的说法正确．理由如下：当时，不论为何值，等式都成立．当时，等式两边除以，得．等式两边除以，得．所以，甲同学的说法错误，乙同学的说法正确 微专题 3　列方程与实际问题 模块导学 列方程与实际问题 设未知数列方程解应用题，步骤是"审—设—列—解—验"：先审清题意找出相等关系，再设未知数并表示相关量，接着按相等关系列方程，最后解方程并检验是否符合实际。 知识梳理 知识点 7　列一元一次方程（重点） ① 一般步骤：(1) 审：审清题意，找出相等关系，分清题中的已知量、未知量；(2) 设：根据题意设出未知数；(3) 列：用含未知数的式子将相等关系中的量表示出来，从而列出方程。 ② 实际问题通过设未知数、列方程，转化为一元一次方程。 知识梳理 知识点 8　确定相等关系的方法（敲黑板） ① 根据周长、面积等公式列方程； ② 根据题目中的不变量确定相等关系； ③ 根据关键词确定相等关系：和差关系通常用「一共有……」「比……多……」「比……少……」表示，倍数关系通常用「是……的几倍」表示。 ④ 注意：根据实际问题列方程时，必须使方程两边的单位统一。 题型 1 直接设元列方程 　　例 1　　　★★　20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　本题考查了由实际问题抽出一元一次方程，设男生有人，则女生有人，根据植树的总棵数男生人数女生人数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 解：设男生有人，则女生有人， 根据题意得：． 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 1　　　★★　将一箱苹果分给若干个小朋友，如果每个小朋友分个苹果，就会有人没有苹果；如果每个小朋友分个苹果，则正好多出个苹果．问有多少个小朋友？如果设有个小朋友，那么依题意可以列出的方程是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　本题考查一元一次方程与实际问题，根据题意列方程是解题的关键； 根据题意列方程求解即可； 解：设有个小朋友， 依题意可得：， 故选：B 　　答案　　　B 　　变式 2　　　★★　我国“DF－41”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫），则“DF－41”导弹飞行多少分钟能打击到12000km处的目标？设飞行能打击到目标，可以列出的方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　统一单位：速度 = 米/秒，x 分钟 = 60x 秒，路程 = 速度×时间；令其等于 12000 km = 12 000 000 米，即得方程。 　　答案　　　D 　　例 2　　　★★　创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿．（不用化简） 思路分析　根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 　　答案　　　 　　变式 3　　　★★　若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 解：∵的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 　　答案　　　 题型 2 情境转化列方程 　　变式 4　　　★★★　已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据题目给出的白昼时长的两个相等表达式，推导出正午时刻与日出时刻、日落时刻的关系，代入已知时间计算即可． 解：∵（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）， ∴正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻， ∴正午时刻日出时刻日落时刻， ∴正午时刻（日出时刻日落时刻）， ∴正午时刻为（时分时分）（时分）时分， 即该地区这一天的正午时刻为． 　　答案　　　 　　变式 5　　　★★★　“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据斜对角线上的三个数字和与最后一行的三个数字之和相等求解即可． 解：根据题意可得， 移项得， ∴． 　　答案　　　 　　变式 6　　　★★★　根据图中的标注，列出方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据长方形的周长等于长加宽和的两倍列方程即可． 解：由题意得：． 　　答案　　　 　　变式 7　　　★★　方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填序号） 思路分析　分别分析四个情境中的数量关系，列出对应的方程，判断是否与一致． 解：①设心里想的数是，根据题意得：，符合题意； ②设红绳长米，根据题意得：，符合题意； ③由题意得：，符合题意； ④由题意得：，即，不符合题意． 综上所述，正确的选项是①②③． 　　答案　　　①②③ 题型 3 设元列方程综合 　　例 3　　　★★　根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 思路分析　本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设长方形的宽为米，则长为米，再由长方形周长计算公式列出方程即可； （2）设买蓝色布料米，则买白色布料米，再由一共花费690元列出方程即可； （3）设该队胜了场，则该队负了场，再由一共得15分列出方程即可． （1）解：设长方形的宽为米，则长为米． 根据题意，列方程得． （2）解：设买蓝色布料米，则买白色布料米． 根据题意，列方程得． （3）解：设该队胜了场，则该队负了场， 根据题意列方程，得． 　　答案　　　(1)设长方形的宽为米，则方程为(2)设买蓝色布料米，则方程为(3)设该队胜了场，则方程为 　　变式 8　　　★★★　甲、乙两人分别从相距30km的两地骑车相向而行，甲骑车的速度是，乙骑车的速度是．甲先出发25min后，乙骑车出发，则乙出发多少小时后两人相遇（只列方程）？ 思路分析　本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 设乙出发小时后两人相遇，根据题意列方程即可得到结论． 解：设乙出发小时后两人相遇， 依题意得： 　　答案　　　 　　例 4　　　★★　根据题意列出方程，并利用等式的性质解方程． (1)甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班多4名学生，求两个班各有学生多少名； (2)某商店卖出全部彩电的后，还剩下150台，这个商店原来有多少台彩电？ 思路分析　（1）设甲班有名学生，则乙班有名学生，根据“乙班比甲班多4名学生”列方程，然后根据等式的性质解方程即可； （2）设这个商店原来有台彩电，根据“商店卖出全部彩电的后，还剩下150台”列方程，然后根据等式的性质解方程即可. （1）解：设甲班有名学生，则乙班有名学生， 根据题意，得， 方程两边加，得， 方程两边除以2，得， 所以， 答：甲班有54名学生，乙班有58名学生； （2）解：设这个商店原来有台彩电， 根据题意，得， 化简，得， 方程两边乘4，得， 答：这个商店原来有600台彩电． 　　答案　　　(1)甲班有54名学生，乙班有58名学生(2)600台 微专题 4　解方程与含参方程 模块导学 解方程与含参方程 利用等式的性质解方程：通过移项、合并同类项、系数化为1，把方程逐步化为 的形式。已知方程的解反求参数时，把解代入原方程得到关于参数的等式，再解这个等式。 知识梳理 知识点 9　已知解求参数与解的特殊性（重点） ① 已知方程的解求参数：把解代入原方程，得到关于参数的等式，解出参数即可。 ② 正整数解：先解出用参数表示的 x，再按整除条件枚举参数的取值。 ③ 整数解问题的关键：将未知数表示为两个整数的商，再利用约数分析。如 且 x、k 为整数，则 是 3 的约数 ±1、±3，故 k=±1 或 3 或 5。 知识梳理 知识点 10　整体代入 ① 方法：不单独求字母，把"某几项的整体"当作一个数代入。 ② 新定义运算：先从算例归纳法则，再把新定义"翻译"成普通方程求解。新定义问题的关键是准确理解定义的含义。 知识梳理 知识点 11　易错警示 ① 系数化为 1 时，不要将分子分母的位置颠倒； ② 两边同时除以字母系数前，先确认该系数不为 0，否则变形不成立； ③ 检验要左边、右边分别计算再比较，只算一边不算规范检验。 题型 1 利用等式的性质解方程 　　例 1　　　★★　利用等式的性质求方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的性质对方程变形求解. 解：等式两边同时减去， 得， 化简，得. 　　答案　　　 　　变式 1　　　★★　利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 思路分析　本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． （1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 　　答案　　　(1)是原方程的解(2)是原方程的解 　　例 2　　　★★　利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． 思路分析　本题考查了等式的性质，解决问题的关键是能正确根据等式的性质进行变形． （1）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去5，再同时除以 （2）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去x，再同时除以2. （3）利用等式的基本性质。等式左右两边同时加上,再同时除以5. （1）解：等式两边都减去5，得， 等式两边都除以，得． （2）解：等式两边都减去，得， 等式两边都除以2，得． （3）解：等式两边同时加上，得， 等式两边都除以5，得． 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　例 3　　　★★　利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 小题2详解　解：方程两边加1，得． 小题2详解　方程两边乘2，得． 思路分析　本题考查了等式的性质和解一元一次方程，解题的关键是能灵活运用等式的性质． （1）先方程两边同减，再系数化为，即可得到答案； （2）先方程两边同加，再系数化为，即可得到答案； 【小题1详解】 解：方程两边减3，得． 方程两边除以2，得． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 2　　　★　计算： 思路分析　先左右两边同乘最小公倍数去分母，再解方程即可． 解： ． 　　答案　　　 　　变式 3　　　★　计算 (1) (2) (3) (4) （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 　　答案　　　(1)(2)(3)(4) 题型 2 已知方程的解求参数 　　例 4　　　★★　若是方程的解，则a的值是（　　） A．　　　B．5　　　 C．1　　　D．　　　 思路分析　本题考查了解一元一次方程，将代入方程得出，求解即可． 解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 　　答案　　　A 　　例 5　　　★★　若是关于的一元一次方程的解，则的值为（　　） A．3　　　B．5　　　 C．7　　　D．9　　　 思路分析　无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.． 解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 　　答案　　　C 　　变式 4　　　★★　已知关于的方程的解是，则的值为（　　） A．3　　　B．7　　　 C．10　　　D．13　　　 思路分析　将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可． 解：把代入，得，解得． 　　答案　　　B 　　变式 5　　　★★　关于的方程的解是，则（　　） A．3　　　B．　　　 C．0　　　D．1　　　 解：将代入，得 　　答案　　　B 　　变式 6　　　★★　若是方程的解，则a的值为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 　　答案　　　B 　　变式 7　　　★★　若是关于的方程，则的值可以是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查的方程的定义，正确掌握方程的定义是解题的关键. 该方程可能是一元一次方程，那么满足，求出的值即可. 解：若是关于的一元一次方程， 那么， 解得： 故答案为：（答案不唯一）. 　　答案　　　2（答案不唯一） 　　变式 8　　　★★　已知是关于的方程的解，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出m的值即可得到答案． 解：∵是关于的方程的解， ∴， 故答案为：． 　　答案　　　6 　　变式 9　　　★★　已知是关于的方程的解，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了一元一次方程．掌握解题步骤是解题的关键． 把代入已知方程，得到，将其带入即可求代数式的值． 解：将代入方程， 得到：， ∴， 故答案为：． 　　答案　　　2 　　变式 10　　　★★　已知是关于的方程的解，则式子的值为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 　　答案　　　2022 　　变式 11　　　★★　若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 　　答案　　　 　　变式 12　　　★★　若是关于的方程的解，求代数式的值． 思路分析　本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 把代入原方程中求出，整体代入即可得到答案． 解：因为是关于的方程的解， 所以把代入，得， 所以． 　　答案　　　 题型 3 解的特殊性与限制条件 　　变式 13　　　★★　已知式子的值为8，那么式子的值为（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 思路分析　由的值为8得出y2−2y的值，再得出−2y2＋4y的值，再加5即可得出答案． 解：∵＝8， ∴y2−2y＝2， 两边同时乘以−2，得−2y2＋4y＝−4， ∴−2y2＋4y＋5＝−4＋5＝1， 故选：A． 　　答案　　　A 点睛　本题主要考查代数式求值，关键是要能由y2−2y＋6的值得出y2−2y的值． 　　变式 14　　　★★★　设是互不相等的实数，且则下列结论正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　由 两边同乘 3 得 ；验证 D：3()=3a−3b=3a−()=a−c，恰好成立，故 D 正确。 　　答案　　　D 　　变式 15　　　★★★　设是正整数，且，则值为（　　） A．3　　　B．2　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　由，得出，结合是正整数，得出a、b异号，然后分两种情况讨论：、，把整体代入，根据绝对值的意义化简即可． 解：由题意知：，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴a、b异号， 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 综上，值为3． 　　答案　　　A 　　例 6　　　★★★　阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（　　）. A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 　　答案　　　A 　　变式 16　　　★★★　若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 技巧归纳　方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 思路分析　本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 解：∵， ， ， ， ∴4要为的倍数， 或0或1． 故答案为：，0和1． 　　答案　　　，0和1 题型 4 整体代入与新定义运算 　　变式 17　　　★★★　对任意的数a，定义：，已知，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据定义得到的表达式，列出关于的方程，解方程即可得到的值． 解：∵， ∴， ， ， ． 　　答案　　　9 　　变式 18　　　★★★　已知：，求的值． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 　　答案　　　 1 学科网（北京）股份有限公司 $