二次根式专题特训-2025年九年级中考数学一轮复习

二次根式专题特训-2025年中考数学一轮复习 一、单选题 1．下列各式中，为最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 2．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．48 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果请你来批阅作业，那么以下四道题中：①；②；③；④．计算正确的题共有（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 7．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．若，则用只含有的式子可表示为 ． 11．已知，则的值为 ． 12．若，则的值是 13．比较大小 14．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 15．如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为 16．求值： ． 三、解答题 17．计算 (1) (2) (3) (4) 18．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 19．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 20．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 21．综合与实践 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注．为了方便同学们更好地放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 元素 数据 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 22．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B C A A C 1．A 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查二次根式的性质，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单． 根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据平方差公式对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项不符合题意； B、原式，所以B选项不符合题意； C、原式，所以选项C符合题意； D、原式，所以D选项不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先把各二次根式化简为最简二次根式，根据能合并即是同类二次根式，找出不是同类二次根式的选项即可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴、、是同类二次根式，可以合并，与其它项不是同类二次根式，不能合并， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理分别求出，，进而得到，则由勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④． 【详解】解：①由勾股定理得，故①正确； ②由勾股定理得，， ∴， ∴，故②正确； ③，故③错误； ④点A到直线的距离是，故④正确； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的乘法和减法计算，根据二次根式的性质化简即可判断①②；根据二次根式乘法计算法则可判断③；根据二次根式减法计算法则可判断④． 【详解】解：①，原式计算错误； ②，原式计算错误； ③，原式计算错误； ④，原式计算正确； ∴计算正确的题有1道， 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 9． 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数列出不等式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 15．/ 【分析】利用勾股定理求得和的长，证明，得到，推出，得到，设，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点B作的垂线，垂足为点，如图， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 设，，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， 经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式除法和乘法，最后计算减法即可； （3）先根据分配律去括号，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式加减法即可； （4）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 19．(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ， ． 20．通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 21． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理等等知识，连接，交于点．由等角对等边以及三角形内角和定理可得出，再结合已知条件可得出，利用勾股定理分别求出和，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点．    ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 答：课桌挂钩顶端到地面的距离为． 22．(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$