北京市第五十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 期中调研试卷 高三数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是 （ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数是 A. 160 B. 80 C. 50 D. 10 4. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数，，，且的最小值为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 7. 点在圆：上，，，则最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 9. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月 10. 已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 任意，都存在点，使得 B. 任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C. 存在，当点运动时，使得 D. 任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分 11. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角终边经过点，角是由角终边绕原点O逆时针旋转得到的，则等于______. 13. 已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是_______，得到的一个抛物线标准方程是_______. 14. 已知等比数列满足：，，，则公比______，的最小值为______. 15. 在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离. （1）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点，直线：，则_________. （2）在空间直角坐标系内，也有类似的结论，若，可定义两点之间的曼哈顿距离.已知点，动点P满足，则动点P围成的几何体的表面积是_______. 三、解答题：共6小题，共85分. 16. 在中，，. （1）求A的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 17. 如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. （1）证明：； （2）证明：； （3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 18. 某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男职工 女职工 使用 不使用 使用 不使用 款APP 72人 48人 40人 80人 款APP 60人 60人 84人 36人 假设所有职工对两款APP是否使用相互独立. （1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率､该企业女职工使用款APP的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望； （3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占%､女性占%；款APP的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男､女用户占比情况和使用款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由． 20. 已知函数，直线为曲线在点处的切线. （1）当时，求出直线的方程； （2）若，讨论的单调性，并求出的最值； （3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围. 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列A中． （1）当时，写出所有满足的数对序列A； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求． 北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 期中调研试卷 高三数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ② ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 ①. ##； ②. . 三、解答题：共6小题，共85分. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）选①，面积为；选②，不符合题意；若选③，不符合题意. 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）证明：因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）存在，. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 数学期望：； （3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 【19题答案】 【答案】（1）椭圆E的标准方程为； （2） 因为直线与x轴不重合，且过点， 所以可设直线的方程为， 联立方程，消去x可得， 方程的判别式， 设 ∴， ∵，则 则直线的方程为， 代入可得，即 ∴， 则 ∵，即 ∴， 所以直线与DP平行. 【20题答案】 【答案】（1） （2）的最小值为，无最大值； （3） 【21题答案】 【答案】（1）或 （2）证明：当时，因与不同时在数对序列中，故， 即每个数至多出现5次. 又因，所以只有对应的数可以出现5次， 故.得证. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $