上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷

2024-2025学年度第一学期10月四校联考 高一数学试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知全集，集合，则______. 2. 不等式 的解集是__________． 3. 已知，关于的不等式的解集为，则______． 4. 已知方程的两实根为，则的值为__________． 5. 若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是__________． 6. 化简：______.（其中，） 7. 已知且，则的最小值为______ 8. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是______． 9. 已知实数，且，则的取值范围是__________． 10. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为___________. 11. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上） ①可能均为有理数 ②可能均为无理数 ③可能恰有一个为有理数 ④可能恰有两个为有理数 12. 已知二次函数，若集合中恰有两个元素，则的取值范围为__________． 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 下列结论中错误的有（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则； D. 当时，的最小值为 14. 下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（ ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A. B. C. D. 15. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数满足 （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 19. 某种商品原来每件售价为元，年销售万件． （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ （2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 20. 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题. （1）请根据基本不等式（），证明：； （2）请利用（1）的结论，证明：； （3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，再折成一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？ 21. 对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”. （1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 2024-2025学年度第一学期10月四校联考 高一数学试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】-7 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】①②③ 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）或 （2） 【19题答案】 【答案】（1）元 （2）改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 【20题答案】 【答案】（1）因为,当且仅当时等号成立, 所以当且仅当 时等号成立. 所以 当且仅当时等号成立, 所以,当且仅当时等号成立. （2）由于,当且仅当时等号成立,令 , 得﹐ 即﹐故. 所以﹐当且仅当时等号成立. （3）. 【21题答案】 【答案】（1）集合不是，集合是； （2）不妨设， 若去掉的是，则集合可以分成或，即：①或② 若去掉的是，则集合可以分成或，即：③或④， 由①③得，矛盾；由①④，矛盾； 由②③得，矛盾；由②④，矛盾； 所以五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）①证明：设集合所有元素之和为， 由题可知，均为偶数， 所以的奇偶性相同， 若为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数； 若为偶数，则也均为偶数，此时设，则也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合中的元素个数为奇数. 综上所述，集合中的元素个数为奇数. ②7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $