精品解析：河南省周口市郸城县多校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025 学年第一学期期中试卷 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一．选择题．(每题3分，共30分) 1. 下列各组数中的四条线段，是比例线段的是（ ） A. 1，2，3，8 B. 1，4，2，6 C. 5，6，2，3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；即四条线段，如果，则称这四条线段是比例线段；根据定义进行判断即可． 【详解】解：∵，，而， ∴前三个选项中的四条线段不成比例，选项D中的四条线段成比例； 故选：D． 2. 若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ） A. 1：16 B. 16：1 C. 1：4 D. 1：2 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答． 【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16， 故正确的答案为：A 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 5. 如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】∵直线l1l2l3 ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意的是成比例的线段必须是对应的． 6. 如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似图形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 四边形与四边形相似比为3， 四边形的周长是2， 四边形的周长为6， 故选：B． 7. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程的定义知，由题意，即得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且 ； 故选：D． 8. 已知矩形的顶点A、B、C 的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移及矩形的性质；先由矩形的性质及A、B、C三点的坐标特点，确定点D的坐标，再根据平移即可确定点的坐标； 【详解】解：由A、B坐标知，轴，；由B、C坐标知，轴，； ∵四边形为矩形， ∴轴，轴，，， ∴； ∵矩形向右平移3个单位长度得到矩形， ∴； 故选：C． 9. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 10. 如图，中，，，点是的中点，点在线段 上，，交于点，过点 作的垂线交的延长线于点，下列结：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角的性质求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后求出是直角，根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出，再根据等角对等边的性质求出，然后求出，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出，再，然后求出，然后求出，从而得到，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出，再根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出④正确． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，， 又∵， ∴，即， 即 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴， 在和中， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据角的互余关系，，， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴=， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴，故④正确； 所以，正确的结论有①②④．共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出，然后证明是证明的关键，也是本题的难点． 二．填空题．(每题3分，共15分) 11. 如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是_______________．(添加一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，或添加． 【详解】解：在和中， ， 故只需要增加一组角对应相等即可， 可添加， 此时， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 设，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：1 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 13. 两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，列方程即可． 【详解】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)， ∵两个相邻偶数的积是168， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出较大的相邻偶数是解题的关键． 14. 如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点D在边上，点E在斜边上，点F在边上，若，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据正方形的性质用表示出、，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设，则． 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在中，，即， 解得：舍去负值， ， 正方形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15. 如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似． 【答案】1或 【解析】 【分析】分两种情形：①如图，当△PFE∽△EAD时，②如图，当△EFP∽△EAD时，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当△PFE∽△EAD时， ∴∠ADE=∠FEP， ∴AD∥PE， ∴PE⊥CD， ∴四边形AEPD是矩形， ∵四边形ABCD是正方形，E是AB的中点， ∴t=DP=AE=1； ②如图，当△EFP∽△EAD时， ∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP， ∵DC∥AB， ∴∠AED=∠CDE， ∴∠FEP=∠CDE， ∴PD=PE， ∴PF是DE的垂直平分线， ∴F为DE中点， DE=， EF=DF=DE=， ∵， 即， 解得t=DP=， 综上所述，满足条件的t的值为1s或s． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三．解答题．(本大题8小题，共75分) 16. （1）解方程： ； （2）计算： 【答案】（1），；（2）14 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，二次根式的混合运算法则，是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） 或 ，； （2） ． 17. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 18. 如图，在四边形中，相交于点E，点F在上，且 ， （1）求证： ； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴． ∵． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形外角性质． （1）由，，即可得出； （2），得，把代入可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴ ． 即 ． 解得：． 19. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 两位同学的解法都错误， 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】略 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 20. 如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．(结果保留根号) 【答案】3； 【解析】 【分析】由，可知是直角三角形，且，由题意知，为的中位线， ，则，由勾股定理得，，由题意知，O是的重心，则，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D、E、F分别为边的中点， ∴为的中位线， ， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，O是的重心， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质是解题的关键． 21. 如图，有一块形状为的斜板余料，已知，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，D，E两点分别在上，且． （1）求斜边上的高； （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用勾股定理计算，根据计算即可． （2）过点A作于点M，交于点N，根据平行四边形得到，得到，故，求得后再计算，根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 设斜边上的高为h， 所以， 所以． 【小问2详解】 如图，过点A作于点M，交于点N， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 22. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）每个模型应降价10元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型． 可获利：元． 答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元． 【小问2详解】 解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：，整理得：， 解得：， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴． 答：每个模型应降价10元． 23. 【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 【答案】 【问题呈现】证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【类比探究】 ； 【拓展提升】（1）； （2）证明：由(1)得：， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】问题呈现：由等边三角形的性质易得，由证明，则得； 类比探究：由等腰直角三角形及勾股定理得，且得，证明，即可求得的值； 拓展提升：（1）由已知条件得，得，，继而得，即可求得结果； （2）由得，由，由三角形内角和即可得要证结论． 【详解】【问题呈现】略 【类比探究】 ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展提升】 ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， (2)略 【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年第一学期期中试卷 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一．选择题．(每题3分，共30分) 1. 下列各组数中的四条线段，是比例线段的是（ ） A. 1，2，3，8 B. 1，4，2，6 C. 5，6，2，3 D. 2. 若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ） A. 1：16 B. 16：1 C. 1：4 D. 1：2 3. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 5. 如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 7. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知矩形的顶点A、B、C 的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 9. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 如图，中，，，点是的中点，点在线段 上，，交于点，过点 作的垂线交的延长线于点，下列结：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题．(每题3分，共15分) 11. 如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是_______________．(添加一个即可) 12. 设，则的值是_____． 13. 两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为______． 14. 如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点D在边上，点E在斜边上，点F在边上，若，则正方形的面积为______． 15. 如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似． 三．解答题．(本大题8小题，共75分) 16. （1）解方程： ； （2）计算： 17. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 18. 如图，在四边形中，相交于点E，点F在上，且 ， （1）求证： ； （2）若，求 的长． 19. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 20. 如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．(结果保留根号) 21. 如图，有一块形状为的斜板余料，已知，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，D，E两点分别在上，且． （1）求斜边上的高； （2）求平行四边形的面积． 22. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 23. 【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $