内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向 量与复数，数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合U={2,4,6,8,10},A={2,4},B={4,6},则Cu(AUB)= A.{4》 B.{2,4} C.{8,10} D.{2,4,6 2.已知复数之满足(4一3i)x=1十2i,则x= A得 B c号 n 3.已知数列{am}满足a1=2,am+1an=an一1，则a2= A号 B.2 C.3 D.-1 4.已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角a的终边绕着原点按顺时 针方向旋转开后经过点P(3,一4)，则tana= A.7 B司 C.-7 D.-月 5.已知函数f(x)=3"(t士m四是定义在R上的奇函数，则a的值为 1+3 A.1 R司 c- D.-1 6.已知等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“{am}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【高三期中联考试卷·数学第1页（共4页）】 25-L-191C 7.已知点(m,27)在幂函数f(x)=(m一2)x”的图象上，设a=f(1og3),b=f(ln3),c= f(3),则a,b,c的大小关系为 A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<< 8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,∠BCD=60°，∠ADC=A 150,BC-,CD-2,点E是线段BC上的-点，且E-3BC. 点P是线段AD上的一点，则PB·PE的最小值为 A品 a c n是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,m都是负数，且a<b,则 A.1-1 B.ba C.a+m>b+m D. b十m、b m"a 10.已知函数f)-停n2r一mx十号，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π B函数f八x)的图象的一条对称轴方程为x=晋 C.函数f(.x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到 D.函数f(x)在区间(0，)上单调递增 11.已知函数f(x)=x3一3x2+(3一a)x一b,则下列说法正确的是 A.若f(.x)在(0，十o∞)上单调递增，则a的取值范围是（一o∞，0） B.点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 C.若过点(2，m)可作出曲线y=f(x)十(a一3)x十b的三条切线，则m的取值范围是（一5，一4） D.若f(x)存在极值点xo,且f(xo)=f(x1),其中xo≠x1,则x1十2.x0=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知关于x的不等式x2一2ax一a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速（单 位：m/s)可以表示为)=号1og总，其中M表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋能鱼 的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的3√3倍时，它的游速是 m/s. 14在△ABC中，am号=3an会则品A十日C的最小值为 【高三期中联考试卷·数学第2页（共4页）】 25-L-191C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a. (1)求a-b: (2)求a一b与a的夹角. 16.(本小题满分15分) 已知0<g登<a<,且cos(e-）=号sin(a+)= (1)求cos(B+于)的值： (2)求 le一ix+2snla+乳》的航 os(。-)十cos(a+9r) 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin B+csin C=a(2 sin Bsin C+sinA). (1)求角A的大小： (2)若c=2,点D为边BC的中点，且AD=,求边BC的值 【高三期中联考试卷·数学第3页（共4页）】 25-L-191C 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x-1)e-ar(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)≥x一e对任意的x∈[0，十∞)恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 设任意一个无穷数列{an}的前n项之积为Tm,若Hn∈N,Tn∈{am},则称{an}是T数列. (1)若{am}是首项为一2，公差为1的等差数列，请判断{am}是否为T数列？并说明理由： (2)证明：若{an}的通项公式为an=n·2",则{am}不是T数列； (3)设{am}是无穷等比数列，其首项a1=5,公比为g(g>0),若{am}是T数列，求g的值. 【高三期中联考试卷·数学第4页（共4页）】 25-L-191C鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意，得AUB=〈2,4,6)，所以Cu(AUB)={8,10.故选C 2A因为复数：满是(4一0=1+么所以：=吉=得+多牛部=一云+号.所以 √（号）+()-故选A 3.A因为数列{a满足a=2a1a=a-1,所以a1=1-d,所以ao=1-号=分=1-2=-1a=1 -(-1)=2.=1-2=2,所以1a是周期为3的周期数列，又32=3X10+2,所以ae==2.故选入 4D设旋转后的角为则9=。吾：mg=一专所以m。=m件子）（广号考）X 选D. 5.B因为f(x)为奇函数，所以f(一x)=-fx),即3[士n-)]=-3(士mD,即3 1+3 1+3 1+37 一所以行-·即一a-a,解得a子·放选B 6.D等比数列一1，一2，一4，一8，其公比q=2>1,但该数列是递减数列，故“q>1”是“{m}是递增数列”的不 充分条件：数列一4，一2，一1，一为递增的等比数列，但其公比为q=,故“9>1”是“(a,}是递增数列”的 不必要条件，故“q>1”是“{am}是递增数列”的既不充分又不必要条件.故选D. 7.C因为f(x)=(m一2)：x”是幂函数，所以m一2=1，解得m=3,又点(3,27)在函数f(x)=x的图象上， 所以27=3，解得n=3,所以f(x)=x,易得函数f(x)在（一o∞，十o∞）上单调递增，又ln3>ne=1=3 >3=号>号=lg,2>lg5.所以a<<A故选C 8.B以B为原点，BC,BA所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标 系，如图所示：连接BD,在△BCD中，由余弦定理得BD=A √()+(2)-2x号×2×ms60=2所以m+(D= D BC,所以∠BDC=90°.而BC=2CD,所以∠DBC=30°.连接DE,在△CDE 中，由余弦定理得DE= V停）+(9）-2x号×29xsw=1 所以CE+DE=CD,所以∠DEC=90°.在△ABD中，∠ABD=∠ADBB =60°，所以三角形ABD是等边三角形，所以AB=BD=2,所以A(0,2),D(3,1),E(3.0).设P(x,y), 令Ap=1AD(0≤≤1)，即(xy-2)=1(3,-1)=(3x,-A),所以x=3,y=2-,所以 P(5x2-A),所以P成.P元=(5x2-A)·(3a-5,2-A)=4-7a+4=4(么-居)）+号所以当 入=冬时，P市，P它有最小值为号故选B a6>6,即2< 9BD由a<<0,得。>方，故A错误；由a<<0,得d2>r,不等式两边同时除以ab,可得> 分，故B正确：由不等式的可加性可知，由a<,可得a十m<b十m,故C错误；生”-么=C生m a十maa(a+m) 【高三期中联考试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 25-L.-191C Ca士m2=mCa-2>0,所以士m>2,故D正确.故选BD, a(a十n) a(a十m) a十ma 10Ac-号n2-mx+-号n21g2红+号-停n2+7s2:=n(2r+吾），函 2 2 数x)的最小正周期为T-受=元，故A正确：由2x+吾=受十k∈D,得x=吾+受k∈，当k=0 时，x=吾，故B正确：由y=sin2x的图象向左平移花个单位长度，得y=sin2(十变)=sin(2x+晋)，故 C正确：因为x∈(0，答).2x+吾∈（答，），函数y=sin1在（答，）上不单调，故D错误故选ABC 11.BCD若f(x)在(0，十)上单调递增，则f(x)=3.x2-6.x十3-a≥0在x∈(0，+∞)上恒成立，所以 了(x)m=f(1)=3-6+3-a≥0，解得a≤0，即a的取值范围是(-∞，0]，故A错误：因为f(x)=x2 3x2+(3-a)x-b=(x-1)1-a.x-b+1,所以f(1)=-a-b+1,又f(2-x)+f(.x)=(2-x-1)3 a(2-x)-b+1+(x-1)3一a.x-b+1=-2a-2b十2，所以点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心，故 B正确：由题意知y=f(x)+(a一3)x十b=x2一3.x2,所以y'=3x一6.x,设切点为(x,x-3.x后)，所以切线 的斜率k=36一6.xo,所以切线的方程为y一(x一3.x)=(3.x后一6o)(x一x),所以m一(6一3.后)= (3.-6.x)(2-x0),整理得2.-9.x后十12x。十m=0.记h(x)=2x2-9.x2+12.x十m,所以h'(x)=6.x2 18.x+12,令h'(x)=0,解得x=1或x=2.当x=1时，h(x)取得极大值h(1)=5十m,当x=2时，h(x)取 得极小值h(2)=4十m,因为过点(2，m)可作出曲线y=f(x)+(a一3)x十b的三条切线，所以 1h(1)=5十m>0, 解得一5<m<一4，即m的取值范围是（一5，一4），故C正确：由题意知f(x)=3.x一 h(2)=4十m<0, 6x十3-a=3(x-1)2一a,当a≤0，f(x)在(-∞，十∞)上单调递增，不符合题意；当a>0,令f(x)>0, 解得x<1-√号或x>1十√号，令/()<0，解得1-√号<x<1+√号，所以f(x)在 (-,1-√号)上单调递增，在(1-√号1+√号)上单调递减：在(1+√号，+)上单调递增，因为 f(x)存在极值点xo,所以a>0.由了(x)=0,得3(.-1)2=a,令+2x=t,所以=t-2.x,又 f(x0)=f(),所以f(x)=f(t-2.x0),又f(x)=x2-3.x2+(3-a)x-b=(x-1)3-ax-b+1,所 以(0-1)3-a.-b+1=(t-2x-1)3-a(t-2xm)-b+1,又3(xn-1)2=a,所以(.x-1)3 3(x6-1)2x0-b=(-1)2(-2.-1)-b=(t-2x-1)5-3(.x。-1)2(t-2)-b,化简得 (1-3)(3xm一)2=0，又≠，3一1≠0，所以t=3,+2x=3,故D正确.故选BCD. 12.(一1,0)因为关于x的不等式x2-2a.x-a>0的解集为R,所以△=4a2+4a<0,解得一1<a<0,即实数 a的取值范围是（一1,0）. 3 13. 设大西洋维鱼静止时的耗氧量为M,则号l6s德-0，可得M=10,将M=3,3M=30,5代入 -号og总可得，=2og3=子（m/s). 14.45 因为an号-3an会.设m=1an会，则tam号=3m,显然am令>0，am号>0，即m>0,所以品 sin A 2 2 2 十 ；=m+1+ sin C A 2tan 2 C 2m 6m 2sin 2 cos 2 2sin立cos2 2tan 2 m2+1 9m2+1 2 2+cos:C tan+1 2 tan +1 m10m叶≥2/0x2=45,当且仅当10m三2即m=tam司 令-停时等号成立，故品十 人6 l 的最小值为45. 【高三期中联考试卷·数学参考答案第2贞（共4页）】 25-L.-191C 15.解：(1)因为向量a=(一1,3)，b=(x,2),所以a-2b=(一1一2.x,-1), 由(a-2b)⊥a得1十2.x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2).… …3分 又a-b=（-2,1),所以a-b=√/(-2)2十下=5.…6分 (2)设向量a一b与向量a的夹角为0，因为a=(一1,3)，a一b=(一2,1)， (a-b)·a 52 所以cos0=Tab·Ta=1o×52 10分 又0°≤0≤180°，所以0=45°，即向量a一b与向量a的夹角是45°.… …13分 16.解：1因为受<a<,所以平<a-牙<，因为co(。-于）-5。 所以n(。-吾)√1-（停）-25 2分 因为0<BK受<a<,所以受<a十受， 又sin(a+8)=青，所以cos(g计a)=-√1-（告）=-号， 4分 所以cos(计于）=cos[B叶a-(a-于)门=cos(p叶a)cos(a-平)+sin(g叶a)sin(a-于) 是×+号×29- 51 7分 (2)由题意知sina=sin(a-于+于)=sin(a-于)cos于十cos(a-平)sin于 =25×+5×2=3四 10 10分 又受<a<x,所以cosa=-V-sna= ,所以tana 10 sin=-3,…12分 cos a sin(a-7x)+2sin(e+ξ） 所 -sin a+2cos a-tan a+23+25 os(。-)+cos(a+9m) sin a-cos a tana-13-i=2.…15分 17.解：(1)因为bsin B+csin C=a(2 sin Bsin C+sinA), 由正弦定理得+c2=a(2 bsin C+a)=2 absin C+a2,所以？十c2-a=2 absin C,…2分 由余弦定理得十2-a2=2 bccos A=2 absin C,所以ccos A=asin C,…4分 由正弦定理得sin Ccos A=sin Asin C,又sinC>0,所以cosA=sinA,所以tanA=1,…6分 又A∈(0，x),所以A=x 4 …7分 (2)因为点D为边BC的中点，所以AD=号(A店+AC), 所以亦=}(A+AC+2A8.AC)=十×(2+1AC+2x2×1ac×号）=只， …10分 獬得|AC-3或|C=-5(舍).…12分 由余弦定理得BC=AB+AC-2AB·AC0s∠BAC=2+3-2X2X3X号=5， 2 所以BC=√5.…15分 18.解：(1)由题意知f(x)=x心一a.x=x(一a),…2分 若a≤0，令f(x)<0,解得x<0,令f(x)>0,解得x>0,所以f(x)在(-o∞，0)上单调递减，在 (0,十0∞)上单调递增.… …3分 若a>0,当lna=0,即a=1时，f(x)≥0，所以f(x)在（一o∞，十oo)上单调递增： ……4分 当lna>0,即a>1时，令f(x)>0,解得x<0或x>lna,令f(x)<0,解得0<c<lna, 所以f(x)在（一c∞，0）上单调递增，在(0，lna)上单调递减，在(na,十o∞)上单调递增：…5分 【高三期中联考试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 25-L.-191C 当lna<0,即0<a<1时，令f(x)>0,解得x<lna或x>0,令f(.x)<0,解得lna<x<0. 所以f(x)在（一o∞，lna)上单调递增，在(na,0)上单调递减，在(0.十oo)上单调递增.…6分 综上，当a≤0时，f(x)在（一o,0)上单调递减，在(0，十o∞）上单调递增：当0<a<1时，f(x)在（一o∞， lna)上单调递增，在(lna,0)上单调递减，在(0，十oo)上单调递增；当a=1时，f(x)在（一oo,十o∞）上单调 递增；当a>1时，f(x)在（一o∞，0）上单调递增，在(0，na)上单调递减，在(lna,十oo)上单调递增。 …7分 (2)若f(x)≥x-e对任意的x∈[0，十oo)恒成立，即xe一 2ax2-x≥0对任意的x∈[0，十o)恒成 立，即e-7ax一1≥0对任意的x∈[0，十o∞)恒成立.… 10分 令gx)=e-2ar-1.所以g'(x)=心-7a, 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增，当g(0)=1-7a>0,即a<2时，g(x)≥g(0)≥0， 所以g(x)在[0，十0∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0,符合题意；…12分 当g(0)=1-之a<0,即a>2时，令g(x>0,解得>h受令g()<0.解得0<r<h号，所以g) 在0ln号)上单调递诚， …14分 所以当x∈(0，n号)时，g(x)<g(0)=0,不符合题意. 15分 综上，的取值范围是（一6∞，2].…17分 19.(们)解：{aw}是T数列.…1分 理由：因为{am}={-2,-1,0,1,2,3,…},所以Ti=a1∈{am},Tg=a1a2=2∈{am}, 当n≥3时，Tw=0∈{an},所以{an》是T数列。… 2分 (2)证明：假设{a.}是T数列，则对任意正整数n,T。总是{an中的某一项， 即对任意正整数，存在正整数m满足：n！·2“=m·2”, 显然n=1时，存在m=1,满足n1·2=m·2”, 4分 取n=2,得2×23=m·2,所以m≤4， 可以验证：当m=1,2,3,4时，2×23=m·2都不成立，故{am}不是T数列. …6分 (3)解：已知{am是等比数列，其首项a1=5,公比q>0,所以am=a1·q1=5g1(n∈N), 所以T,=aa2…an=g+2+m+w》-5g, 由题意知对任意正整数n,总存在正整数m,使得T,=am, 即对任意正整数，总存在正整数m,使得5g=5, 即对任意正整数，总存在正整数m,使得g--D=5-, …8分 ①令nm,D-（m-1)=一k1-n(kN),得m∈乙，且m=-(2+Dm+k+1. 2 因为-(2k+1Dm=(。一2生)广-(2生)EN,所以当n=k时，r-（2张十1Dn取到最小值 (2+1Dk,所以m=-(2+1D”++1≥-(2+1)+k+1=,+2≥1，所以≤1， 2 2 2 又k∈N,所以k=1,所以g0-=5,即g=: …12分 ②令n"21卫-(m-1)=k(1-n)(k∈N”),得m∈Z, 2 且m=心+2-1D”+1-k≥+(-D+1一k=1,所以g=5t, …16分 综上9=5t(k∈N)或号 17分 【高三期中联考试卷·数学参考答案第4贞（共4页）】 25-L.-191C