2.6 列方程解决实际问题（七大题型提分练）数学新教材北京版七年级上册

2.6 列方程解决实际问题 题型一 行程问题 1．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 2．老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用的一种数学思想． 如图1中，千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二个学生步行到D点，段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题．从时间上产生等量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从E点到B点的时间=第一个学生从C点步行到B点的时间．若设千米，则，用含x的代数式表示出该等量关系，即可得方程解出问题． 【详解】解：如图， 设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ， 对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时， 于是得方程： ∴ ∴ ∴ 由时间关系，可得方程 解方程得 则在路上共计用的时间为 即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时． 3．一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 【答案】，两地之间的距离是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设，两地之间的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 答：，两地之间的距离是千米． 4．A、B两地相距450千米，甲，乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为，乙车速度为，经过多少小时两车相遇？ 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程速度时间，列方程求解即可． 【详解】解：设经过x小时相遇， 根据题意得，， 解得， 答：经过2小时相遇． 5．已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 题型二 配套问题 1．糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【答案】(1)制作了1200盒月饼． (2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键． （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可． 【详解】（1）解：设制作了盒月饼． 根据题意得， 解得． 答：制作了1200盒月饼． （2）解：当时，则购买月饼的费用为元： 当时，则购买月饼的费用为元． 2．某车间每天能制作甲种零件300只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要配2只乙种零件．现在要在20天内制作出最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 【答案】甲、乙两种零件各应制作5天和15天 【分析】本题主要考查一元一次方程，准确掌握等量关系是解题的关键．设甲种零件制作天，则乙种零件制作天，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设甲种零件制作天，则乙种零件制作天． ， ， ． 答：甲、乙两种零件各应制作天和天． 3．（工程问题）某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设分配x人生产螺栓，则人生产螺母，根据生产的螺栓和螺母配套建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设分配x人生产螺栓，则人生产螺母， 每天生产螺栓的数量为：个，每天生产螺母的数量为：个， ∴， 解方程得：， ∵ ∴12人生产螺栓，16人生产螺母． 4．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 【答案】用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设用张制盒身，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张制盒身． （张） 答：用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒． 5．学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【答案】需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， ， 答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 题型三 工程问题 1．一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 【答案】乙中途休息了1天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设乙中途休息了x天，则乙施工了天，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙中途休息了x天， 由题意可得：， 解得：． 答：乙中途休息了1天． 2．一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 【答案】乙还需做天． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设乙还需做天后，共同完成任务，然后根据“甲、乙合作完成的工程量乙剩下完成的工程量总工程量”，即可得出关于的一元一次方程，即可求解，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设乙还需做天， 由题意得：， 解得：，即乙还需做天， 答：乙还需做天． 3．整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 【答案】女生单独完成还需要工作小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生单独完成还需要工作小时．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设女生单独完成还需要工作小时．根据题意得， 解得： 答：女生单独完成还需要工作小时． 4．一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做12天完成，丙队独做15天完成．如果三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 【答案】3天 【分析】根据题意，把总工程量看成“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，设三队合作x天完成了这项工程的，列出方程，解答即可． 本题考查了工程问题的应用，明确工程问题中的工作量，工作效率的表示方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得把总工程量看成“1”， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 设三队合作x天完成了这项工程的， 列方程，得， 解方程，得． 答：三队合作，3可以完成这项工程的． 5．服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 【答案】32 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设实际需要天完成，则由题意得：，再求解即可． 【详解】解：设实际需要天完成， 则由题意得：， 解得：， 答：实际32天完成任务． 题型四 销售盈亏 1．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件 (2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 2．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 3．某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 【答案】(1)，； (2)； (3)折． 【分析】（）根据题意列出算式即可求解； （）根据（）所得结果列出方程即可求解； （）由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元，设第二次销售剩余五分之三时打折销售，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程，根据题意找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，甲供应商所需支付的钱数为元，乙供应商所需支付的钱数为元， 故答案为，； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当时，去两个供应商处的进货价钱一样多； （3）解：由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元， 设第二次销售剩余五分之三时打折销售， 由题意得，， 整理得，， 解得， 答：第二次销售剩余五分之三时需打折销售． 4．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 5．商店购进一批本子，每本进价1元，若按定价的80%出售，能获得20%的利润；现在本子因成本降低而进价下降，按原定价的70%出售，仍能获得50%的利润，则现在这种本子每本进价多少元？ 【答案】0.7元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设现在这种本子的进价是x元，根据题意列得一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：定价：（元）， 设现在这种本子的进价是x元， 依题意得， 解得， 答：现在这种本子的进价是元． 题型五 比赛积分 1．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 2．某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 【答案】小王答对了22道题 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有道，根据总分是87分列出一元一次方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有：（道）， 根据题意可得：， 解得：， ∴答对的题有：（道）， 答：小王答对了22道题． 3．（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 【答案】她做对了道题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据题意，设对了题，则错了题，由此列方程即可求解． 【详解】解：根据题意，设对了题，则错了题， ∴， 解得，， ∴她做对了道题． 4．某学校举行数学竞赛，共有12道题，规定每做对1题得9分，做错题倒扣3分，而且不能不做．王刚得了84分，他做错了几道题？ 【答案】他做错了2道题 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，设他做错了x道题，则做对了道题，他的实际得分可表示为分，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他做错了x道题， 根据题意得， 解得， 答：他做错了2道题． 5．5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 【答案】3场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出5支球队需要比赛的场数，设共有x场平局列出x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：5支球队需要比赛（场）， 设共有x场平局，根据题意有： ， 解得： 答：共有3场平局． 题型六 方案选择 1．秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次秋游人数为人， 由题意得，， 解得， 答：此次秋游人数为人． 2．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1) (2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元． 3．某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 【答案】(1)； (2)印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少 【分析】此题考查的是列代数式表示实际问题和一元一次方程的应用，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键． （1）根据题意，分别写出甲、乙两种收费方式即可； （2）根据收费方式列出方程解答即可． 【详解】（1）由题意可知：甲种收费方式应收费元； 乙种收费方式应收费元 故答案为：；． （2）根据题意可得：， 解得：． 故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少． 5．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 【答案】(1)方案二 (2)63人 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的等式是解题关键． （1）根据两种方案分别得出总费用，比较即可得出答案； （2）根据已知得出两种方案费用一样，进而得出等式求出即可． 【详解】（1）解：∵方案一：（元）， 方案二：（元）， ∴选择方案二． 故答案为：方案二； （2）解：设一班有x人，根据题意得： ， 解得：， 答：一班有63人． 题型七 数字问题 1．【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 【答案】(1)见解析（答案） (2)3 (3)能，见解析 (4)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （2）根据规则知，据此求解可得x的值； （3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可； （4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可． 【详解】（1）解：如下表： 6 1 2 3 7 4 5 0 （2）由题意知， 解得， 故答案为：3； （3）解：∵， ∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可． 如下表： 12 3 18 17 11 5 4 19 10 （4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等， 每个三角形的三个顶点上的数字之和， ，， ，，， 所给的数剩下7，6，3，2，，， ，，，或，，，， 或， 或 故答案为∶或． 2．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 【答案】(1)，，． (2)③，． (3)为或． 【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含的代数式表示出每行数中的第个数是解题的关键． （1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分两种情况列出关于的等式即可． 【详解】（1）观察所给数可知， 第①行中的第个数可表示为， 第②行中的第个数可表示为， 第③行第个数可表示为， ∴第①行第个数是， 第②行第个数是， 第③行第个数是． 故答案为：，，． （2）因为， 所以不在第①行和第②行中． 当， 解得． 所以是第③行的第个数． 故答案为：③，． （3）设第二行的第个数为，则第一行的第个数为，第三行的第个数为， 当为奇数时， 解得 ∵， ∴， ∴； 当为偶数时， 解得 ∵， ∴， ∴． 综上可得，为或． 3．设一个六位数的3倍为，求这个六位数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设，根据“六位数的3倍为”列方程求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，得， 解得， 答：这个六位数为． 4．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“姊妹有理数对”，记为，如：数对，都是“姊妹有理数对”． (1)数对、中是“姊妹有理数对”的是____________； (2)若是“姊妹有理数对”，求b的值； (3)若是“姊妹有理数对”，则________“姊妹有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； 【答案】(1) (2) (3)不是 【分析】本题考查有理数的运算，掌握“姊妹有理数对”的定义，是解题的关键： （1）根据“姊妹有理数对”的定义，进行判断即可； （2）根据“姊妹有理数对”的定义，得到关于的方程进行求解即可； （3）根据“姊妹有理数对”的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴数对不是“姊妹有理数对”， ∵， ∴数对是“姊妹有理数对”； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （3）∵是“姊妹有理数对”， ∴， ∴， ∴不是“姊妹有理数对”， 故答案为：不是． 5．观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，4，，16，…： 第二行：0，6，，18，…； 第三行：，2，，8，… 解答下列问题： (1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________． (2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________． (3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)64；66；32 (2)； (3)第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，第二行第n个数比第一行第n个数大2，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得第一行第n个数为，第三行第n个数为，则第二行第n个数为； （3）假设存在某三个相邻数的和为1536，设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，则，解方程求出x的值，再验证x的值是否是第一行的数即可得到结论． 【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第一行第6个数为； 观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2， ∴第二行第6个数为； 观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第三行第6个数为； 故答案为：64；66；32； （2）解：由（1）可知第一行第n个数为，第三行第n个数为， ∴第二行第n个数为； 故答案为：；； （3）解：第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由如下： 假设存在某三个相邻数的和为1536， 设最前面的那个数为x，则剩下两个数为， ∴， 解得， ∵第一行第n个数为， ∴第一行第9个数为， ∴512不是第一行的数， ∴第一行不存在某三个相邻数的和为1536． 42．综合与实践 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示6和2的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是______； ③数轴上表示和6的两点之间的距离是______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______； (3)应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是5，则可记为：，那么______； ②若数轴上表示数的点位于与7之间，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①或；② 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，一元一次方程的应用； （1）根据两点间距离结合绝对值的意义即可得到答案； （2）根据两点间距离结合绝对值的意义即可得到答案； （3）①根据数轴上两点之间的距离的定义，建立方程求解即可；②的值即为数轴上表示数的点与表示数和数7对应的两点之间的距离之和，结合数轴上表示数的点位于与7之间，可得表示数与数7对应的两点之间的距离，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于； （3）解：①，则， 或； ②的值即为数轴上表示数的点与表示数和数7对应的两点之间的距离之和， ∵数轴上表示数的点位于与7之间， ∴表示数与数7对应的两点之间的距离， ． 题型八 几何问题 1．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有两个点A，B，如图1所示． ①A点表示的数是________，B点表示的数是________，之间的距离是________； ②将点A，点B同时向左平移4个单位，此时点A表示的数是________，点B表示的数是________，之间的距离是________； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为________cm； ②图2中点A所表示的数是________，点B所表示的数是________； (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我 现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了? 【答案】(1)①，3，6；②，，6 (2)①11；②18，29 (3)奶奶现在的年龄为67岁． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）①根据数轴上点的位置即可得到答案；② （2）①木棒移动2次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为，列方程，求值；根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，可以求出A点的数值为18，B点在A点右侧11个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）设年龄差为x岁，仿照（2）列方程，求解，得出年龄即可． 【详解】（1）解：①由数轴上点的位置可知，点A表示的数是，点B表示的数是3，之间的距离是； 故答案为：；3；6； ②将点A，点B同时向左平移4个单位，此时点A表示的数是，点B表示的数是，之间的距离是； 故答案为：，，6； （2）解：①设木棒长度为， 由题意可得：， 解得． 故答案为：11． ②点A表示的数是：， 点B所表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看做木棒，奶奶像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为， 你若是我现在这么大，可看做点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为119， 设年龄差为x岁， 得：， 解得， ∴妙妙的年龄即点A的值为：岁，奶奶的年龄即点B的值为：岁， 故妙妙现在的年龄为15岁，奶奶现在的年龄为67岁． 2．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离，回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； 【答案】(1)， (2)，， (3)，0，1，2； 【分析】本题考查数轴与绝对值，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，再列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离公式可得：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，结合，再解方程即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义可得：取最小值时，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是： ； 数轴上表示和的两点之间的距离是： ； （2）解：∵A，B分别表示的数为x，， ∴数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 如果，则， 解得：或； （3）解：当取最小值时， 由绝对值的几何意义可得：， ∴符合条件的整数x有，0，1，2； 3．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 4．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若A、B两点间的距离为2，求m的值； (2)点C是数轴上A、B两点间的一点，且B、C两点间的距离是A、C两点间的距离的2倍，点C对应的数字是1，求m的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，相反数，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据可列方程，再通过解该方程即可； （2）由题意可列方程，再通过解该方程求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴m的值是； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴m的相反数． 5．一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 【答案】原来上层有294本，原来下层有92本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用题，找准题中的数量关系列方程是解题的关键；设原来下层有书x本，则上层有本，然后根据上层书本数101下层书本数101列出方程求解即可． 【详解】解：设原来下层有x本，则原来上层有本， 由题意得，， 解得：， ， 答：原来上层有294本，原来下层有92本． ． 题型九 和差倍分问题 1．有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 【答案】第一组：120人，第二组：180人；第三组：225人． 【考点】本题主要考查了比的应用和一元一次方程等知识点，设第一组有人，则第二组有人；第三组人数，然后列出方程，解方程即可得解，设出未知数，用未知数表示出各组的人数是解题关键． 【详解】依题意设第一组有人，则第二组有人；第三组人数； ∵三组人共525人， ∴， 解方程得，， ∴（人），（人），（人）， ∴第一组有120人，则第二组有180人；第三组人数225人 2．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 【答案】三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁 【分析】本题考查年龄问题，设小敏现在的年级为岁，根据现在和3年后妈妈与小敏的年龄差不变，得到现在妈妈的年龄为岁，根据小敏和妈妈的年龄和为50，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小敏现在的年级为岁，则现在妈妈的年龄为岁，由题意，得： ， 解得：， 答：三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁． 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 【答案】九年级学生有300人 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人，根据光明中学共有550名学生再建立方程求解即可． 【详解】解：设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人．    ∴， 解得：，      ∴， 答：九年级学生有300人． 4．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 5．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)，； (2)64元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：的值为7，的值为2． （2）解：由（1）得，，． （元）， 答：小丽需要付64元的快递费． 6．2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 题型十 电费和水费问题 1．某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量． 【答案】标准用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 设标准用电量为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】设标准用电量为， 根据题意，得， 解得． 答：标准用电量为． 2．聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 【答案】(1)， (2) (3)小丽家该月用水 【分析】本题主要考查了用代数式表示实际问题中的数量关系、求代数式的值、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出代数式成为解题的关键． （1）根据刘奶奶家用水，，代入计算即可，聪聪家用水，x＞15，代入计算即可； （2）用15立方米的水费加上比15立方米多的部分的水费即可； （3）分三种情况进行讨论计算即可：①当时，，得，解之即可；②当时，，得，解之即可求解；③当时，， 得，解之即可． 【详解】（1）解：刘奶奶家的水费为（元）， 聪聪家的水费（元）， 故，； （2）解：根据水费计算程序转换机示意图得： 当时，月应缴纳水费(元)用x的代数式表示为． （3）解：设小明家用水量为，则小丽家家用水量为， 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， 由得 ； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 故． 答：小丽家该月用水． 题型十一 比例分配问题 1．甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 【答案】甲绳原来长为10米，乙绳原来长为12米． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据比例关系列出方程是解题关键．设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米，根据题意可求出甲绳截去后长为米，进而由比例关系可列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米， 甲绳截去后长为米， 所以， 解得：， 所以甲绳原来长为10米，乙绳原来长为米． 2．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 3．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 4．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用； （1）用长方形面积减去两个四分之一圆形花坛面积，再减去两个三角形面积，计算即可； （2）求出水池的长宽比例为，设长为，则宽为，根据周长为列方程求出x，可得水池的长为，宽为，然后根据（1）中广场空地的面积再减去水池的面积，计算即可． 【详解】（1）解：广场空地的面积为：； （2）因为，， 所以水池的长宽比例为， 设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：， 所以水池的长为，宽为， 所以广场空地的面积为． 5．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 【答案】(1)七年级（1）班有男生人、女生人； (2)男生共需要小时． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）设七年级（1）班有男生有人，则女生有人，再利用全班共48人建立方程求解即可； （2）设男生共需要小时，再由各部分的工作量之和等于1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生有人，则女生有人， ∴， 解得：； ∴， 答：七年级（1）班有男生人、女生人； （2）设男生共需要小时，则 ， 解得：； 答：男生共需要小时． 题型十二 日历问题 1．如图是年月份的月历，请解决下列问题： 星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？ (3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 【答案】(1)竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差 (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差 (3)号 【分析】（）观察月历即可求解； （）观察月历即可求解； （）设小明是号出去玩的，根据月历横排相邻各数间的关系列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，找到月历中相邻各数间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由月历可得，竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差； （2）解：由月历可得，从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差； （3）解：设小明是号出去玩的， 由题意得，， 解得， 答：小明是号出去玩的． 2．将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 3．若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【答案】(1)方框中的9个数的和是中间的数的9倍 (2)右下角的数是58；过程见解析 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． （1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）可设中间的数为x,根据（1）中规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）， ， 方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）设中间的数为，则其它8个数分别是：，依题意有 ， 解得， ． 右下角的数是58． 4．如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 5．一个班女生比男生的多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数恰好相等，这个班原有男、女生各多少人？ 【答案】这个班原有男生人，则原有女生人． 【分析】此题考查了列方程解应用题．设这个班原有男生x人，则原有女生人，男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数恰好相等，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个班原有男生x人，则原有女生人， 则 解得， 答：这个班原有男生人，则原有女生人． 题型十三 其他问题 1．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)22，21 (2) (3)241 【分析】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，解题的关键是结合图表弄清题意． （1）结合图可分别求出b和c； （2）结合图任意列举两组数字，即可发现与的关系； （3）根据已知条件列一元一次方程求解，再求代数式的值即可． 【详解】（1）解:由数表可得，若，则，， 故答案为：22，21； （2）由数表可得，a与c的数量关系是， 故答案为：； （3）将代入，得， 解得：， 则， ． 2．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)， (2)或； (3)长方形的运动的时间为秒或秒． 【分析】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理数的运算等知识，有一定的难度，注意数形结合． （1）由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数； （2）首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得t的值； （3）分两种情况：或时，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则， 所以点A表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得， 解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒， 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得； 综上，长方形的运动的时间为秒或秒． 3．六年一班有男同学24人，如果女同学人数再增加，就和男同学人数相同，求全班共有多少人？ 【答案】全班共有44人 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系式，列出方程． 设女同学人数为x人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设女同学人数为x人， 则， 解得：， 故女同学人数为20人， 人， 答：全班共有44人． 4．实验室里有一个圆柱形空水槽，底面直径为，高为． (1)将底面半径为，高度为的圆锥形容器装满水全部倒入圆柱形水槽内，此时水槽内水的高度为多少？ (2)在（1）的条件下，将一个圆柱形铁锭放入水槽内，全部浸入水面以下，水面上升了，如果这个圆柱形铁锭的底面半径为，那么这个圆柱形铁锭的高是多少？ (3)在（1）的条件下，如果将一个高为，底面半径为的圆柱形铁锭竖直放入水槽内，那么水面上升了多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、圆锥的体积，圆柱的体积，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）由题意可知：圆锥的体积水槽中水的体积，然后先算出圆锥的体积，再除以圆柱的底面积，求解即可； （2）根据圆柱形铁锭的体积水槽中上升的水的体积，先算出圆柱形铁锭的体积，再除以圆柱形铁锭的底面积，求解即可； （3）设水面上升了．根据圆柱形铁锭浸入水的体积=水槽中上升的水的体积，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 答：水的高度为． （2）解：， ， 答：这个圆柱的高为． （3）解：设水面上了， 则， 即， 解得：， 答：水面上升了． 5．观察下列两个等式： ，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数 对 ，都是“一中有理数对” (1)若是“一中有理数对”，求a的值； (2)若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见详解 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）由新定义得，即可求解； （2）由新定义得，根据新定义进行判断，即可求解； 理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是“一中有理数对”， ， 解得：； （2）解：不是“一中有理数对”，理由如下： 是“一中有理数对”， ， ， 不是“一中有理数对”． 题型十四 古代问题 1．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 2．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 3．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 【答案】共有39人出行，15辆车． 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题． 【详解】解：设有辆车，由题意得： ． 解得 ∴ 答：共有39人出行，15辆车． 4．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【答案】21人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中钱的总数列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程， 解得：， 即合伙人有21人． 5．猪头肉是某地的品牌美食，每斤猪耳朵肉比每斤猪头肉贵5元，花100元买1斤猪耳朵肉和2斤猪头肉还找回5元，问它们的单价各多少元？ 【答案】每斤猪头肉为30元，则每斤猪耳朵肉为35元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先设每斤猪头肉x元，可表示每斤猪耳朵肉的单价，再根据1斤猪耳朵肉的价格加上2斤猪头肉的价格等于元列出方程，求出解即可． 【详解】解：设每斤猪头肉x元，则每斤猪耳朵肉为元，根据题意，得 解得， ． 所以每斤猪头肉30元，每斤猪耳朵肉为35元． 1．2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 【答案】分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配x人生产花生米，则分配人做罐头，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设分配x人生产花生米，则分配人做罐头， 由题意得：， 解得：， ． 答：分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装． 2.（工程问题）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天．乙请假多少天？ 【答案】乙请假10天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题的应用是解题的关键；设乙请假了x天，则甲、乙合作了天，根据题意列方程求解即可； 【详解】解：设乙请假了x天，则甲、乙合作了天， 由题意得：， 解得：， 答：乙请假10天； 3．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【答案】(1)； (2)分； (3)该队为前进队或东方队． 【分析】（）根据钢铁队即可求解； （）设胜一场积分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （）设该队胜场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由钢铁队可知，负一场积分， 故答案为：； （2）解：设胜一场积分， 由前进队得，， 解得， 答：胜一场的积分； （3）解：设该队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜场，负场， ∴该队为前进队或东方队． 4．（经济问题）春节期间，某商店按下面两种方式促销，第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元．刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1)，那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【答案】120元和240元 【分析】本题主要考查折扣问题，关键根据题意设未知数，根据等量关系列方程解答． 根据题意，因为已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），两件商品的现价是252元，所以设原价元和元，根据优惠情况分别计算两种商品的原价，找到符合题意的价钱即可． 【详解】解：设两件商品的原价分别是元和元． （元 答：两件商品的原价分别是120元和240元． 5．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②A表示的数是，B表示是；（3）或 【分析】本题考查了数轴上点的特征、一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，中心点表示的数为1， ①1与5之间的距离和1与之间的距离相等，因此表示5的点与表示的点重合， ②1与A之间的距离和1与B之间的距离都等于，进而可求出点A、B表示的数． （3）根据相反数的和为0列出关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）①对折中心点表示的数为1，1与5之间的距离和1与之间的距离相等， 故答案为：； ②由题意，可知关于点1所在的直线重叠，A表示的数是，B表示 答：A表示的数是，B表示是． （3）根据题意可知：或， 解得或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 列方程解决实际问题 题型一 行程问题 1．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 2．老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 3．一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 4．A、B两地相距450千米，甲，乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为，乙车速度为，经过多少小时两车相遇？ 5．已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 题型二 配套问题 1．糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 2．某车间每天能制作甲种零件300只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要配2只乙种零件．现在要在20天内制作出最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 3．（工程问题）某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 4．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 5．学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 题型三 工程问题 1．一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 2．一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 3．整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 4．一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做12天完成，丙队独做15天完成．如果三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 5．服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 题型四 销售盈亏 1．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 2．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 3．某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 4．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 5．商店购进一批本子，每本进价1元，若按定价的80%出售，能获得20%的利润；现在本子因成本降低而进价下降，按原定价的70%出售，仍能获得50%的利润，则现在这种本子每本进价多少元？ 题型五 比赛积分 1．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 2．某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 3．（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 4．某学校举行数学竞赛，共有12道题，规定每做对1题得9分，做错题倒扣3分，而且不能不做．王刚得了84分，他做错了几道题？ 5．5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 题型六 方案选择 1．秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 2．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 3．某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 5．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 题型七 数字问题 1．【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．                (1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方． (2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________； (3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由． (4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________． 2．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 3．设一个六位数的3倍为，求这个六位数． 4．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“姊妹有理数对”，记为，如：数对，都是“姊妹有理数对”． (1)数对、中是“姊妹有理数对”的是____________； (2)若是“姊妹有理数对”，求b的值； (3)若是“姊妹有理数对”，则________“姊妹有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； 5．观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，4，，16，…： 第二行：0，6，，18，…； 第三行：，2，，8，… 解答下列问题： (1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________． (2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________． (3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由． 6．综合与实践 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示6和2的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是______； ③数轴上表示和6的两点之间的距离是______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______； (3)应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是5，则可记为：，那么______； ②若数轴上表示数的点位于与7之间，求的值． 题型八 几何问题 1．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有两个点A，B，如图1所示． ①A点表示的数是________，B点表示的数是________，之间的距离是________； ②将点A，点B同时向左平移4个单位，此时点A表示的数是________，点B表示的数是________，之间的距离是________； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为________cm； ②图2中点A所表示的数是________，点B所表示的数是________； (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我 现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了? 2．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离，回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； 3．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 4．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若A、B两点间的距离为2，求m的值； (2)点C是数轴上A、B两点间的一点，且B、C两点间的距离是A、C两点间的距离的2倍，点C对应的数字是1，求m的相反数． 5．一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 题型九 和差倍分问题 1．有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 2．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 4．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 5．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 6．2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 题型十 电费和水费问题 1．某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量． 2．聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 题型十一 比例分配问题 1．甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 2．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 3．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 4．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 5．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 题型十二 日历问题 1．如图是年月份的月历，请解决下列问题： 星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？ (3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 2．将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 3．若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 4．如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 5．一个班女生比男生的多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数恰好相等，这个班原有男、女生各多少人？ 题型十三 其他问题 1．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 2．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 3．六年一班有男同学24人，如果女同学人数再增加，就和男同学人数相同，求全班共有多少人？ 4．实验室里有一个圆柱形空水槽，底面直径为，高为． (1)将底面半径为，高度为的圆锥形容器装满水全部倒入圆柱形水槽内，此时水槽内水的高度为多少？ (2)在（1）的条件下，将一个圆柱形铁锭放入水槽内，全部浸入水面以下，水面上升了，如果这个圆柱形铁锭的底面半径为，那么这个圆柱形铁锭的高是多少？ (3)在（1）的条件下，如果将一个高为，底面半径为的圆柱形铁锭竖直放入水槽内，那么水面上升了多少？ 5．观察下列两个等式： ，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数 对 ，都是“一中有理数对” (1)若是“一中有理数对”，求a的值； (2)若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 题型十四 古代问题 1．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 2．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 3．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 4．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 5．猪头肉是某地的品牌美食，每斤猪耳朵肉比每斤猪头肉贵5元，花100元买1斤猪耳朵肉和2斤猪头肉还找回5元，问它们的单价各多少元？ 1．2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 2.（工程问题）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天．乙请假多少天？ 3．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 4．（经济问题）春节期间，某商店按下面两种方式促销，第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元．刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1)，那么这两件商品的原价分别是多少元？ 5．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$