精品解析：上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024~2025学年董恒甫高级中学高二（上）期中考试数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为. 故答案为：. 2. 已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 3. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 【答案】45°或135°##135°或45° 【解析】 【分析】根据等角定理即可得到答案. 【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°. 4. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交． 【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交， ∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面． 故答案为平行或异面． 【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题． 5. 已知圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由母线长和母线与旋转轴的夹角求出底面半径，再求出表面积即可. 【详解】∵母线长，母线与旋转轴的夹角， ∴底面半径， ∴圆锥的表面积. 故答案为：. 6. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 【答案】4π 【解析】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 7. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【详解】依题意，的面积， 由水平放置的三角形面积是其直观图面积的倍，得的面积为. 8. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据平面，将直线B1C1到平面的距离转化为C1到平面的距离，进而解出答案. 【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且， 又平面，平面，所以，而， 所以平面， 易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离， 所以直线B1C1到平面的距离为. 故答案为：. 9. 如图，已知平面，，，，PB=，则二面角的大小为________ 【答案】 【解析】 【分析】由平面，，可得，因此是二面角的平面角，利用线面垂直的性质与勾股定理可得，，即可得出二面角的大小． 【详解】解：平面，平面，则 又，且平面， 平面，而平面， ， 是二面角的平面角， ，，， ． ，PB=， ． 又， ， 二面角为. 故答案为：. 10. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，从而求出表面积. 【详解】如图，正三棱锥O-ABC，高OM=2，取BC中点N，连接AN，ON，则M在线段AN上，且，由AB=4，BN=2，由勾股定理得：，所以，，所以，，所以三棱锥的表面积为. 故答案为： 11. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的相关参数，根据弧长公式求出底面半径，结合母线长利用勾股定理算出高，代入圆锥的体积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意， ，所以，，所以， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 12. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式列式求解 【详解】设容器底面半径为，则水的体积为， 倒置后水的体积， 解得， 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 14. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定及充分条件、必要条件判断. 【详解】证明充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件； 证明必要性：若，结合，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件． 故是的“充分非必要” 故选：A． 15. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，，则 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若，，则，故②正确； 对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误； 对于④，若，，，则，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题. 16. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合线面垂直度的判定定理，异面直线的定义，中位线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 由线面垂直的判定定理可得得平面， 当点在线段的中点时，平面，此时，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为． （1）求正四棱柱的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案; （2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角. 【详解】（1）如图,连接 正四棱柱的底面边长 面 是与底面所成的角 在中, 正四棱柱的体积为:. （2） 正四棱柱 是异面直线与所成的角 在中, 异面直线与所成的角为:. 【点睛】本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键. 18. 如图，是正方形，平面，． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 如图所示，连接，， 因为是正方形，则， 又平面，平面， 所以， 又，且，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，由已知条件证得平面，进一步可证； （2）设，交于点O，连接，得二面角的平面角，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，交于点O，连接， 在正方形中，， 由（1）可知平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，． 故二面角的大小为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接， 在平行四边形中， 为与的交点，为的中点， 又为的中点，， 又平面平面平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得； （2）找出直线与平面所成角，借助正切函数定义计算即可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接， 为的中点，，且， 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ， 在中，， ，从而， 在中，， 直线与平面所成角的正切值为． 20. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）.C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）. （1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）: （2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度. 【答案】（1）20347； （2）m. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出圆锥的侧面积即可计算作答. (2)将圆锥侧面沿母线SA剪开展在同一平面内，点A到点，连接，求出的值即可得解. 【小问1详解】 因圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m，则此圆锥的侧面积为() 又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得(朵)， 所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花. 【小问2详解】 将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，连接，则为最小长度， 扇形弧长等于圆锥SO底面圆周长，于是得扇形圆心角， 在中，，由余弦定理得， 即，解得， 所以灯光带的最小长度为m. 21. 如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得； （2）分析点C到的最大距离，结合三棱锥的体积公式可得； （3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积， 圆柱的体积. 【小问2详解】 三棱锥的高，底面三角形中，， 则当点C到的最大值等于底面圆的半径1， 所以三棱锥体积的最大值. 【小问3详解】 将绕着旋转到使在的反向延长线上， ，， ， ， ， 即的最小值为等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年董恒甫高级中学高二（上）期中考试数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 2. 已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为______. 3. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 4. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____. 5. 已知圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为______. 6. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 7. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 8. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________. 9. 如图，已知平面，，，，PB=，则二面角的大小为________ 10. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_________． 11. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 12. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于___________. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 14. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，，则 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②④ 16. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为． （1）求正四棱柱的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 如图，是正方形，平面，． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 20. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）.C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）. （1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）: （2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度. 21. 如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $