内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章一第二章第 3节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线x=sin2024π的倾斜角为 A.2024π B受 c哥 D. 2.设向量a=(1,2,m),b=(2,0,一1)，若a⊥b,则m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.过点（一1,2）且与直线x-y一1=0垂直的直线1的方程为 A.x+y-3=0 B.x-y+3=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 4.如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE=3AB,F是棱CD的中点，则E示- A.-A店-号AC+号Aò B号A店+2号AC-号AD C号A店-号AC-2A B D.-A店+号AC+号AD 5.两平行直线m.x一3y-2=0与4x-6y-7=0之间的距离为 B.V13 C.33 D.5I3 26 13 26 26 【高二期中联考试卷·数学第1页（共4页）】 25-L-191B 6.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为 A圣 B号 c D号 7.正四面体ABCD的棱长为3，点E为棱AB靠近点A的三等分点，点F为△ACD的重心，则 线段EF的长为 A.2 B.√3 C.2 D.3 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD的 中点，且SPLAB.A=AA否(0<<1)，若点M到平面SBC的距离为号，则实数X的值为 A号 B.2 D 2 c. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设M,N是两个随机事件，若P(M=号P(=言，则下列结论正确的是 A若NCM,则P(MUN)=号 B.若M∩N=0,则P(M+N)=0 C.若PMnN)=8,则M,N相互独立 D.若M,N相互独立，则PMUN)=8 10.已知直线l过点(1,3)，若1与x,y轴的正半轴围成的三角形的面积为S,则S的值可以是 A.3 B.5 C.7 D.9 11.在平行六面体ABCD-A1B,C,D,中，AB=AD=AA,=2,∠DAB=∠AAB=∠A1AD= 60°，若AQ=mAB+nAD+pAAi,其中m,n,p∈[0,1门，则下列结论正确的为 A.若点Q在平面A,B,CD内，则p=1 B.若CQ⊥DB,则m=n C当p2时，三楼锥Q-ABD的体积为2号 D.当m十n=1时，CQ长度的最小值为√2 【高二期中联考试卷·数学第2页（共4页）】 25-L-191B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面a的法向量为p=(1,2,一1)，平面3的法向量为r=(m,1,一m),若a∥3，则m= 13.在正方体ABCD-A,B,CD1中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所 在的直线平行于平面ACB,的概率为 14.在△ABC中，顶点A(2,3),点B在直线1：3x-y+1=0上，点C在x轴上，则△ABC周长 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 如图，正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2. (1)用空间向量方法证明：AC∥平面ACD: (2)求直线BD与平面ACD1所成角的正弦值. 16.(本小题满分15分) 已知直线l:(2a+3)x+(1-a)y+7+3a=0,a∈R (1)求l恒过的定点的坐标： (2)若l经过第一、二、三象限，求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA=2,P,Q分别为A1B1,BC的中点 (1)求异面直线AP与QC,所成角的余弦值： 6 (2)求二面角P-AQ-C的正弦值 【高二期中联考试卷·数学第3页（共4页）】 25-L-191B 18.(本小题满分17分) 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数 学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛， 甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是号和？·假设两人是否回答出问题，相互之间没有 影响：每次回答是否正确，也没有影响. (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率： (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个 的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点A(x,,a),且方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0) 的直线的点方向式方程为二=业=二色；过点A(,%,),且法向量为m (a,b,c)(a2+b+c2≠0)的平面的点法向式方程为a(x-xo)十b(y一)十c(之-0)=0，将 其整理为一般式方程为ax十by十cz一d=0,其中d=ao十b%十c (1)求经过A(一1,2,4)，B(2,0,1)的直线的点方向式方程； (2)已知平面1：2x-3y十-1=0，平面3：x+y-22十4=0，平面Y:(m+1)x-(2m+3)y+ (m+2)x-5=0,若a∩3=l,l￠y1,证明：l∥y (3)已知斜三棱柱ABC-A1BC1中，侧面ABB1A,所在平面a2经过三点P(一4,0,0)， Q(一3，一1,1)，H(1,一5，一2)，侧面BCCB,所在平面2的一般式方程为y十x十4=0，侧 面ACCA:所在平面2的一般式方程为2x-my+(2十1)：+1=0，求平面ABB1A 与平面ACCA:的夹角大小 【高二期中联考试卷·数学第4页（共4页）】 25-L-191B鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.B直线x=sin2024π与x轴垂直，所以倾斜角为乏.故选B 2.D因为a⊥b,所以a·b=0,即1×2-m=0,故m=2.故选D. 3.C直线x一y一1=0的斜率为1，故与直线x一y一1=0垂直的直线1的斜率为一1，故设1：x十y十c=0.由 于1过点（一1,2），则-1十2+c=0,得c=一1.因此所求直线/的方程为x+y一1=0.故选C. 4D由题意，得E萨=Ei+A亦=号Bi+AC+C市=-号A店+AC+2市=-号A店+AC+2(A市-AC)= -号A店+号AC+号Ad.故选D 5C由题意知？-二≠二号所以m=2.则4红一6y一7=0化为2x-3y号=0，所以两平行直线2x-3y -2+ 2=0与4x一6y-7=0之间的距离为d= 3√13 26 故选C √/2+(-3)月 6.B由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234,243,324,342,423,432)，共6种，其中 偶数有234,32,342,432，共4种，事件“这个三位数是偶数“发生的概率为言-号故选B 7.A因为萨=A亦-A正=号×（号A心+AD)-号A店=号4C+A市-A,所以E=号(AC+ Ad2+A2+2A花Ad-2A花·A店-2市.A)=号×(9+9+9+9-9-9)=2，所以E=瓦，故 选A. 8.A因为SA=SD,P为AD中点，所以SP⊥AD,又SP⊥AB,AB∩AD=A,AB, ADC平面ABCD,所以SP⊥平面ABCD.以点P为原点，PA,PS的方向分别为x, x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0),A(1,0,0), B(1,1,0),C(-1,1,0),S(0,03),故BA=(0,-1,0),A5=(-1,03).所以 D AM=AA5=(-A,03λ)(0A≤1)，所以BM=BA+AM=(-A,-1,31).又 S苏=(1,1，-5)，C=(2,0,0),设平面SBC的法向量m=(x,y,2),则 m…或=x十y一5：=0·令=1，则=0y=5,所以m=(05.1).点M到平 m·CB=2x=0, 面S的离为应m_-停解得X吉或=号（舍.故选入 m 2 9.AC对于A,若N二M,则P(MUN)=P(M=- ，A正确：对于B,若MnN=☑，则M,N事件互斥，所以 PM+N)=PM0+PN)=号+言-号，B错误：因为PM)=子，P)=吉，所以P(MnN)=8 PMP(N,则M,N相互独立，C正确：若M.N相互独立，则MN相互独立，且PM)=1一弓-号，PV -1-言-音，所以PMUN)=PM+P)-PMN)-号+音-号×号-品D储误故选AC 10.C①由题意知直线1在，)y轴上的截距存在且大于0，可设1的方程为若+若=1(a,>0),由直线1过点 1,3),得日+子-1，所以1=日+名2√品当且仅当日-号即a=2,6=6时等号成立，即>12.所以 S-之a>6,故选GD 【高二期中联考试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 25-1.-191B 1山.ABD对于选项A,若点Q在平面AB,CD,内，易知有A1Q-AAB+uAD=入A第+uAD,所以A0 AA+AQ=入AB+AD+AA,又AQ=mAB+nA+力AA,则p=1,故A正确：对于选项B,由题意易 AB.AD=AB.AA=AD.AA=2.CQ=AQ-AC=AQ-(AB+AD)=(m-1)AB+(n-1)AD+ bAA,且Di=AB-AD.又CQ⊥DB,即C范·Di=0,故C范·Di=2(m-1)-2(n-1)=0,解得m=,故 B正确；对于选项C,由题易知四面体A,ABD为正四面体，设A,在平面ABCD内的射影为点H,则H为 △ABD的中心，不难求得AH=2,AH=2、当p=号时，Q到平面ABCD的距离为A,所以 Vam=号·Sm·A,H=号，故C错误：对于选项D.动=(m-1店+（一Ad计p不= 4-4mm十4p-4,又4-4m十4p2-4p=4(p-号）厂'+3-4m≥3-4m,由基本不等式可知4mm≤ (m+)2=1,所以G:≥2，即G≥巨，当且仅当m==力=号时等号成立，所以CQ长度的最小值为 √2，故D正确.故选ABD. 12.立因为a∥所以pr,则咒-之=二解得m=之 18最 连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外还有每个面上各有两条面对角线，共2×6=12.还有4条体 对角线，共28条线段，其中它们所在的直线与平面ACB平行的有3条，故所求概率为。 14.2√13设A关于直线1的对称点为P,关于x轴的对称点为Q,PQ与I的交点即为B, 与x轴的交点即为C.PQ的长即为△ABC周长的最小值.设P(x,y),则 ×8=-1. 2 g5即P(-号，昌.A关于x箱的对称点为 5 解得 3x2-3+1=0. 2 2 y- Q(2,-3).△ABC周长的最小值为1PQ-√-号-2)+（号+3）-2B. 15.如图，以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直 角坐标系Dx,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2).C(0,2,2),B(2,2,0),D(0,0,2). 所以AC=(-2,2,0),AC=(-2,2,0),AD=(-2,0,2),BD=(-2,-2,0). …3分 1n·AC=0, (1)证明：设平面ACD,的法向量为n=(,y,x),由 n.AD=0, 得 -2x+2y=0令x=1,得n=（1,1,1.… 6分 1-2.x+2x=0, 因为AC·n=-2×1+2×1+0×1=0,所以AC⊥n, 又AC平面ACD,所以AC1∥平面ACD, …8分 (2)解：由(1)，得平面ACD的法向量n=(1,1,1) 设直线BD与平面ACD,所成角为0，则sin0=|cos(Bd,n)= BD·mL=-2×1+(-2)×1+0×1 BD·|n 22×5 3 3 …12分 所以直线BD与平面ACD,所成角的正弦值为 3 13分 16.解：(1)整理直线1的方程，得(2x一y十3)a十3.x十y十7=0，…1分 所以直线1过直线2x一y十3=0与3.x十y十7=0的交点，…3分 【高二期中联考试卷·数学参考答案第2页（共4页）】 25-L.-191B 联立方程组 2.x-y+3=0, …4分 3.x+y+7=0, 解得 年年年404年 y=-1. 所以直线（恒过的定点的坐标为（一2，一1）. 6分 (2)当a=1时，直线1的方程为x=一2，经过二、三象限，不符合题意： 8分 当a≠1时y-字+出， a-1 2a+3 a-1 >0. (2a十3)(a-1)>0, 因为经过第一、二、三象限，所以 即 3a+10. 13分 (3a+7)(a-1)>0, a-1 解得a>1或a<-3 …14分 综上所述，当直线1经过第一、二、三象限时a的取值范围是(-00，一子)儿1，十o∞).…15分 17.解：如图，在正三棱柱ABC-A:BC1中，设AC,AC1的中点分别为O,O,则OB⊥OC,OO⊥OC,OO⊥ OB,以O为原点，OB,OC,OO所在直线分别为x轴，y轴，x轴建立如图所示的空间直角坐标系Ox. 因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), B1(W/3,0,2),C1(0,1,2).… 3分 1因为P为AB的中点，Q为C的中点，所以P(停，-号2小： (g3o小： 从而币=（停，2）.Q=(-22 …5分 故1 cos(.QG1=.Q AP1·QC 5×5 10 因此异面直线AP与QG,所成角的余弦值为品。 7分 (2)由于CC⊥平面AQC,所以平面AQC的一个法向量为CC=(0,0,2).…8分 设n=(,)为平面PAQ的法向量：由1)得A市=（停，是2），Aà-（受，是0）》 nAp=0, 由 n.A0-0, 令x=一1，则n=(25,一2，-1) 11分 +号=0 3 故cos(CC,nm=n·C 2×(-1)=-1 17 13分 ln·lCC12×√17 所以sin(C记，n)=√1-cs2cG,m=A=4亚 17 17 所以二面角P-AQ-C的正弦值为4厘 17 15分 18.解：(1)记“乙至少有1个回答正确”为事件M, 所以PM=1-PWM=1-(1-2)×(1-)×(1-)x(1-)= 即乙至少有1个回答正确的概率是提 …5分 (2)记“甲答对第i个问题”为事件A(i=1,2,3),“乙答对第i个问题”为事件B(=1,2,3),则甲回答正 【高二期中联考试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 25-L.-191B 确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件A1A2ABBB十AA2A3BB2B十A1A2ABB2B +AA2As B B2 B+A:AzA3 B B2 B+AA2 As BB:B. 所以P(AAAB,BB+AA:As B.B:B.+A:A:A B.B:B.+A A:As B B.B.+A:A:As B:B:B. +AA本瓦瓦瓦)=号×号×号×号×(1-)×(1-2)+号×号×号×(1-)× (1-2)×2+号×号×号×(1-)×3×(1-2)+(1-号)×号×号×(1-3)×(1-)× (1-)+号×(1-号)×号×(1-)×(1-2)×(1-)+号×号×(1-号)×(1-)× (1-3)×(1-)= 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是 6 11分 (3)记“甲答对第i个问题”为事件A(=1.2,3,4,5),则甲恰好回答5次被退出比赛为事件AA:A:AA+ A1AA8AA+A1A2AAA· P(AA2As A.A:+AA2A A.As+A:A2A:A.As)=P(AA2A:A.As)+P(AA:As A As)+ PA,AAAA)=号×号×号×(1-号)×(1-号)+(1-号)×号×号×(1-号)×(1-号)+ 号×(1-号)×号×(1-号)×(1-号)=品 即甲恰好同答5次被迅出比赛的概率是品， ……17分 19.(1)解：由A(-1,2,4),B(2,0,1)得，直线AB的方向向量为m=A=(3,-2,一3)，…1分 故直线AB的点方向式方程为告=号=（若答案写为：号=支2-号也正确）， …3分 (2)证明：由平面a1:2x一3y十g一1=0可知，平面a1的法向量为m1=(2,一3,1)，…4分 由平面A:x十y一2g十4=0可知，平面3的法向量为m2=(1,1,一2)，…5分 设交线l的方向向量为n=(20,%,),则m1·n=0,m·n=0,…6分 即2o一3%十0三0，令=1，解得=1，=1，故n=（1,1.1D,…8分 即 0+%-2%=0, 又平面1：(m十1).x一(2m十3)y十(m十2)x-5=0的法向量为m=(m十1，一2-3，m十2)， m·n=(m十1)X1-(2m十3)X1十(m十2)X1=0,…9分 因为l寸%，所以∥Y.… 10分 (3)解：设侧面ABBA所在平面2的法向量m=(,,1), 11分 因平面2经过三点P(-4,0,0),Q(-3,-1,1),H(1,-5,-2),则P0=(1,-1,1),P方=(5，-5，-2)， PQ·n1=0, 即西一y十=0. 所以pi.m,=0,即5-5-2=0 令0=1，解得为=1,1=0，…12分 故平面ae的法向量m=(1,1,0), 平面3：y十~+4=0的法向量为n2=(0,1,1), 由(2)可求得平面ag与平面3的交线的方向向量为m1=(1,一1,1)，…14分 平面y2:2x一1y十(21十1)g+1=0的法向量为ms=(2,一1,2m十1)， 由m4·m=(1,-1,1)·(2,-m,2m十1)=2+m十2m+1=0. 解得m=一1，则m5=(2,1,一1)，…15分 所以cos(n,m〉=m·1mT2X6 1·7m5 3 3 2 16分 故平面ABBA与平面ACCA夹角的大小为否 ……17分 【高二期中联考试卷·数学参考答案第4页（共4页）】 25-1.-191B