2024-2025学年苏科版数学九年级上册期中卷

苏科版2024-2025学年九年级（上）期中卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列函数中，是二次函数的是 （　　） A．y＝x2 B． C．y＝x D．y＝x﹣2 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数y＝x2-2x+1的图象可能是 （　　） A．B． C． D． 第3题图 4．某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（    ） A．众数、平均数分别是分与分 B．众数、中位数分别是分与分 C．众数、中位数分别是分与分 D．中位数、平均数分别是分与分 5．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是 （　　） x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … A．1.3＜x＜1.4 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.4＜x＜1.5 7．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是 （　　） A．2 B． C． D． 8．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9．．一元二次方程的解是 ． 10．已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 　． 11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c<0的解集为 ▲ 　． 第11题图 12．已知方程可以配方成的形式，那么 ． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣3，﹣2.2），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1和x2＝ ▲ 　， 14．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 15.△ABC中，AB=，BC=a,∠C=60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是 ▲ 　． 16.习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）计算：． 18.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 19.（本题满分8分）先化简，再求值：，其中—1≤x≤3且x为整数,请你取一个合适的数作为x的值代入求值. 20．（本题满分8分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 21．（本题满分8分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8， AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 22．（本题满分10分）如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（本题满分10分）如图，AB是一个路灯杆，在灯光下，小明在D处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米，已知小明的身高为CD＝FG＝1.6米，求路灯AB的高． 24．（本题满分10分）如图，正六边形内接于，半径为．   (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 25.（本题满分10分）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构（如图2所示）是轴对称图形，台面AB＝274cm（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为72cm（台面AB与地面之间的距离），直线型支架PE与QF的上端E，F与台面AB下方相连，PE与QF的下端P，Q是一个脚轮（脚轮大小忽略不计），直线型支架CG与DH的上端C、D与台面AB相连，下端G，H与PE，QF相连，圆弧形支架GH分别与PE，QF在点G，H相连，且PC⊥AB，QD⊥AB，已知EF＝106cm，＝，tan∠ECG＝tan∠FDH＝. （1）求EG的长度； （2）已知所在的圆经过点P、Q，求所在的圆的圆心到台面AB之间的距离． 26．（本题满分12分）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 27．（本题满分14分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C. （1）求顶点D的坐标； （2）点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）. ①若⊙P与x轴相切，且MN＝，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接ED，连接PN并延长交ED于点T，过点P作y轴的平行线交直线CB于点Q，若PT⊥ED于点T，且PQ＝MN，求点Q的坐标． 参考答案 一、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C B C B C 二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） （9） （10） 6 （11）x<-2 或x>6 （12）1 （13）-7 （14） （15）． （16）． 三、 解答题（本大题共11小题，共102分） 17.（本题6分） 解：原式＝4； -------------6分 18.（本题6分）（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 19.（本题8分） 解： ． -------------5分 X=0时，原式=0.5；x=3时，原式=2（求其一即可） -------------8分 20.（本题8分） 解：（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， 21.（本题8分） （1） 24 ------------4分 （2） ------------8分 22.（本题10分） 解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点P， 则， ∵，， ∴， ∴， 则点P即为所求． 23.（本题10分） 解：设BD＝x米，则BE＝BD+DE＝（x+3）米，BH＝BD+DG+GH＝x+5+5＝（x+10）米， ∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴CD∥AB，∴△ECD∽△EAB， ∴，∴，同理：，∴， ∴， 解得：x＝7.5． ∴，∴AB＝5.6． ∴路灯AB的高为5.6米． 24.（本题10分） 解：（1）解：连接，，如图：    六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 25.（本题10分） （1）解：过点G作GM⊥AB，交AB于点M．连接CP． GE=60cm ------------5分 （2） 点O为所在圆的圆心．连接GH、PQ，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N． 由垂径定理，得GK＝GH＝ME+EF＝CE﹣CM+EF＝54﹣18+106＝89（cm）， ∴PN＝PQ＝CD＝（EF+2CE）＝×（106+2×54）＝107（cm）． ∴KN＝CP﹣MG＝72﹣48＝24（cm）． ∵OP2＝PN2+ON2，OG2＝GK2+OK2，且OP＝OG，∴PN2+ON2＝GK2+OK2， ∴PN2+ON2＝GK2+（KN+ON）2，即1072+ON2＝892+（24+ON）2，解得ON＝61.5． ∴ON+CP＝61.5+72＝133.5（cm）． ∴所在的圆的圆心到台面AB之间的距离为133.5cm． 26 （本题12分） 解【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，， ∴， ∴；2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴ 27.（本题14分） 解：（1） D(2,-1) （2）① t=4； ②∵PT⊥ED，∴∠PTE＝90°，∵∠PRN＝90°，∴∠EDR＝∠EPN， ∴△RPN∽△RDE，∴＝， ∵P（t，t2﹣4t+3），PE∥x轴，∴RE＝PR＝t﹣2， ∴E（4﹣t，t2﹣4t+3），R（2，t2﹣4t+3）， ∵D (2,-1)，∴RD＝t2﹣4t+4，∴RN＝1，∴MN＝2， ∵MN＝PQ，∴PQ＝2，∵PQ＝t2﹣4t+3﹣(﹣t+3)=t2﹣3t， ∴t2﹣3t＝2， 解得（舍去负值），∴Q（，） 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$