因式分解专题特训-2025年中考数学一轮复习

因式分解专题特训-2025年中考数学一轮复习 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A．9 B．16 C．20 D．25 2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：县、爱、我、赣、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．赣县游 C．我爱赣县 D．美我赣县 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．若实数x满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 7．若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 8．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．分解因式： ． 10．多项式的公因式是 ． 11．若都是有理数，且满足，则 ． 12．计算： ． 13．如果关于x的二次三项式(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为： ． 14．a，b，c是的三边，若，则的形状是 三角形． 15．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ． 16．分解因式：，甲看错了a的值，分解的结果是；乙看错了b的值，分解的结果是，那么是 ． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知，将先化简，再求值． 19．先分解因式，再代入求值：，其中，． 20．（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 21．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由． 22．利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是直角的两边长，且满足，求直角的周长． 23．若一个四位数m千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个四位数为“等差数”．将等差数m千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到新数，并记，例如：在1234中，，是“等差数”，此时；在1235中，，不是“等差数”． (1)判断2569，8431是否是“等差数”，并说明理由；如果是，求出对应的的值； (2)若四位数，且，记，，当与均为整数时，求出所有满足条件的“等差数”m． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A D A C 1．C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 2．D 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ 又∵，，，，分别对应下列四个个字：县，爱，我、赣， ∴结果呈现的密码信息是：我爱赣县． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，从左到右变形是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，从左到右变形是因式分解，符合题意； 、，右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 、，右边不是整式乘积的形式，属于因式分解，不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．由可得，把所求代数式中分解成与相加，然后整理成用表示的形式，最后代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．从个体分析图形的面积：，从整体分析图形的面积：，两种方法均表示大长方形的面积，据此解题． 【详解】解：图形面积可表示为， 也可表示为， 根据题意得出可以得到一个用来分解因式的公式， ， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解：，   的值总可以被11整除，即， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 9．/ 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 11．1 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，非负性质；掌握完全平方公式是解题的关键；条件变形后，利用完全平方公式化为，由非负数的性质即可求得a与b的值，再代入即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， 故． 故答案为：1． 12．/ 【分析】该题考查了分式的减法运算，解题的关键是掌握分式的减法运算法则． 同分母分式相减，分母不变，分子相减，再将分子因式分解，分式化为最简分式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 13．， 【分析】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 根据十字相乘法的分解方法和特点可知：的值应该是的两个因数的和，即7，2，，，从而得出m的值． 【详解】解：∵， 则的值可能为：， 故的值可能为：． 故答案为：，． 14．等腰 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，先移项，提出公因式，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】 整理，得． ∵， ∴， 即， 所以是等腰三角形． 故答案为：等腰． 15． 【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面积可进行求解． 【详解】解：由图形可知：； 故答案为． 16． 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解的关系，明确分解因式的结果可还原为多项式是解题的关键．甲把a看错，则所得的分解结果转化为多项式的形式时b正确，由此将展开后确定b的值；接下来按照同样的方法将展开后可得a的值． 【详解】解：分解因式：，甲看错了a的值，分解的结果是， 中，是正确的， 乙看错了b的值，分解的结果是， 中，是正确的， 是， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用平方差公式进行因式分解； （2）运用十字相乘法进行因式分解； （3）运用分组分解法进行因式分解； （4）将原式变形为，将看成整体，运用十字相乘法进行分解后，再次运用十字相乘法和提公因式法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18． 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记公式并能灵活运用是解题关键．利用提取公因式和多项式乘多项式化简得，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】 ， 原式． 19．， 【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 20．（1）；（2），；（3）， 【分析】（1）先计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可； （2）将第一项的分子用平方差公式分解因式，将其分母用完全平方公式分解因式，同时计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可，得到结果后再将各式代入求值； （3）先用提公因式法和完全平方公式分解因式，得到结果后再将各式代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把，代入上式，得：； （3） ， 把，代入上式，得： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，含乘方的分式乘除混合运算，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，代数式求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则及因式分解的方法是解题的关键． 21．(1) (2)见解析 (3)是真命题，见解析 【分析】本题主要查了平方差公式： （1）根据前三个等式解答即可； （2）根据平方差公式解答即可； （3）设两个连续的正奇数为，（为正整数），根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 为正整数， 为正整数， 两个连续的正偶数，（为正整数），它们的平方差是4的倍数； （3）解：是真命题；理由： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）． ． 为正整数， 两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍． 22．(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了因式分解的应用、配方法的应用，勾股定理，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用勾股定理求出第三边的值，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，， 当直角第三边为斜边时，则第三边的长为：， 当直角第三边为直角边时，则第三边的长为：． 故的周长为或． 23．(1)1235不是“等差数”，见解析 (2)或 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解整除的意义是解题的关键． （1）根据题干中的新定义判断求解； （2）先分别求出，，，再根据，，，的取值范围和整除的意义求解． 【详解】（1）解：， 是“等差数”， ； ， 不是“等差数”； （2）解：由题意得：， ， ， ， ，，，，都是1到9之间的整数，与均为整数， ，都为的倍数， ，或，， 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$