精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

武强中学2024—2025学年度上学期期中测试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线，则点A到直线l的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】解：点，直线，则点A到直线l的距离, 故选：C. 【点睛】点到直线的距离. 2. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解. 【详解】因为，所以即，解得， 因为，所以，解得， 所以，， 所以. 故选：B. 3. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 4. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）连接，则即为异面直线与所成的角，解三角形即可； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】解：（法一）连接， 由题意，，则即为异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为2，则，则， 在中，； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2，得，2，，，0，，，2，，，2，， ，，，，0，， 因此，得到， ，且， ， 异面直线与所成的角是锐角或直角， 面直线与所成的角的余弦值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题． 5. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长. 【详解】圆，所以圆心，半径， 由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以直线被圆所截得的弦长为， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题. 6. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 考点：平面向量数量积的运算 7. 椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据和余弦定理，列方程求解即可 【详解】设，，则， 又（1），（2）， （1）式平方减去（2）式得：，得：. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，考查向量的数量积运算，主要考查学生的计算能力，属于基础题. 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 直线倾斜角的取值范围是 B. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点， ， ． 又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，． 1，，0，． ，，． 与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，， 由，即，得 取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d． 又2，， ， 点到平面DEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题． 11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 【答案】CD 【解析】 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B错误； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1， 由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为， 故选项D正确； 故选：CD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【详解】设，由余弦定理知，所以，故填. 14. 已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可. 【详解】由题意可得圆的标准方程为：， 直线的直角坐标方程为：，即， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得：， 则. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【小问1详解】 因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 16. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2 （2）x＝0或3x+4y﹣4＝0 【解析】 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. 【小问2详解】 k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 17. 已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义得到，求得，进而求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设点，由，求得，代入椭圆的方程，进而求得点的坐标. 【小问1详解】 解：由椭圆的焦点为，可得，即， 又由椭圆的定义，可得， 因为的周长为，可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：设点，且，，则， 因为，可得，解得，即， 将代入椭圆，可得，即，解得， 所以点的坐标为. 18. 如图，三棱锥中，平面 ，，．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ， 故PCDE由CE＝２，CD=DE＝，得ＣＤＥ为等腰直角三角形， 故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线， 故DE平面PCD； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面，可知，再分析已知由得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于，平面，因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面和平面的法向量，向量的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论． 试题解析：（1）略 （2）解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１， 故FB＝２． 由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝． 以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0）， 设平面的法向量， 由，， 得. 由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即. 从而法向量，的夹角的余弦值为， 故所求二面角A-PD-C的余弦值为. 考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力． 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值即可； （3）不妨将A平移到处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 设动点为直线上一点，则， 所以， 即， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，为. 【小问3详解】 动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其表面积为. 证明如下： 不妨将A平移到处，设， 若，则， 当时，即， 设，，， 则， 所以P，，，四点共面， 所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足. 所以满足方程的点P， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）. 由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2024—2025学年度上学期期中测试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线，则点A到直线l的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 设，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A. B. C. D. 5. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 7. 椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 直线倾斜角的取值范围是 B. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 13. 已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________. 14. 已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 17. 已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求点P的坐标． 18. 如图，三棱锥中，平面 ，，．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $