精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 高三数学学科试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式上下同乘以进行分母实数化即可求解. 【详解】由题意可得 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求集合B，由并集概念即可得出结果. 【详解】由，解得，则， . 故选：C 3. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量加法和模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，所以，即，所以， 则，所以， 故选：C 4. 在等差数列中，，则其前10项和（ ） A. 72 B. 80 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助特殊角的三角函数值、指数运算和对数函数性质，化简即可判断大小. 【详解】由题知，，， 又， 所以. 故选：A 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数与函数的单调性求函数单调递减区间. 【详解】因为（），所以（）， 由. 所以的减区间是. 故选：C 7. 等差数列的前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前项和分别为， 且， ∴， ∵. 故选：A. 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断. 【详解】A选项：，若，则，选项错误; B选项：,，设，，，，则，选项错误; C选项：若，则，选项正确； D选项：，设，，则，选项错误. 故选：ABD. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 在区间有两个极值点 C. D. 直线是曲线的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题意得 选项A：函数的最大值为，错误； 选项B：当时，，由正弦函数图象可得有2个极值点， 由和解得和为函数的极值点，正确； 选项C， 正确， 选项D， 由得， 所以或，，解得或，， 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为即，正确； 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，求得圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以， 则圆锥的体积， 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. 故答案为：. 14. 设函数，则使得不等式成立的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可. 【详解】令，则， 当时，，，故，即， 故在上单调递增； 又在上单调递增且函数值恒正， 所以在上单调递增， 故在上单调递增； 又的定义域为，且， 故为偶函数， 故， 也即， 整理可得：，即， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1） 利用三角函数的恒等式变形及辅助角公式，可化为,即可求出函数的周期； （2）利用正弦函数的单调区间以及整体思想来求解，即可得函数的单调递增区间. 【小问1详解】 由 可得； 【小问2详解】 由可得的最小正周期为， 令 ， 解得：， 所以的单调递增区间是：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：分别为的中点， 为正方形， ,平面平面， 平面.； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为 则，令则， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设公差为，结合题设有，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）有， 故， 即. 18. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 当时，在上递增， 当时，在上递增，在上递减， 当时，在上递增；在上递减． 【解析】 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【小问1详解】 . 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 19. 已知数列中，，点在直线上，其中. （1）令，求证数列是等比数列； （2）求数列的通项； （3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由. 【答案】（1）因为点在直线上，所以，因此 由得 所以数列是以为公比的等比数列； （2）； （3）存在λ＝2，使数列是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2 ∴ 又= ∴， ∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列． 【解析】 【分析】（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立； （2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项； （3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列． 【详解】（1）略 （2）因为，由得，故， 由（1）得， 所以，即， 所以，，…，， 以上各式相加得： 所以； （3）略 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高三数学学科试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 10 4. 在等差数列中，，则其前10项和（ ） A. 72 B. 80 C. 36 D. 40 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 在区间有两个极值点 C. D. 直线是曲线的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 13. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 14. 设函数，则使得不等式成立的的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调递增区间. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 17. 已知是等差数列的前项和，且. （1）求； （2）若，记数列前项和为，求 18. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 19. 已知数列中，，点在直线上，其中. （1）令，求证数列是等比数列； （2）求数列的通项； （3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $