精品解析：重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

重庆市高 2025 届高三第一学期期中考试 数学试题 一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式，结合对数函数定义域得到，利用交集概念进行求解. 【详解】由题意得，解得， 故， 所以. 故选：B 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：D. 3. 在平行四边形中，为的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先以、为基底表示出、后，则可以、为基底表示出、，即可用、为基底表示出. 【详解】因为为的中点，故， ， 所以，， 则. 故选：D. 4. 在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个，则这2个数是孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，利用古典概型公式即可求出答案. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中随机抽取2个，有种情况， 其中孪生素数有，，，共4种情况， 则这2个数是孪生素数的概率为. 故选：A. 5. 记为数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入，构造等比数列求解其通项可得. 【详解】当时，，解得. 当时，，即， 则，且， 所以， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以，则. 故选：B. 6. 若 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再由二倍角公式及基本不等式求解. 【详解】因为，由诱导公式可得， 所以， 由知，， 所以，当且仅当即时，等号成立. 所以 的最大值为. 故选：C 7. 设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得. 【详解】设，则， ∵，∴，， 函数在上单调递增，又，∴， 由，可得，即， 又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为. 故选：A． 8. 已知，则关于的方程的实根个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的有界性，按照、、和分类讨论，由导数结合数形结合得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 令，则， 当或时，， 在和上均单调递减， 结合的函数图象，如下： 可以看出两函数有且仅有两个交点，故方程的实根个数为2. 故选：B 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 若，则 C. 随机变量服从正态分布 ,若，则 D. 数据4，3，2，5，6，7的分位数为 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】由独立性检验的性质可以判断A；结合条件概率公式可判断B；由正态分布的性质可判断C；将数据从小到大排列，找到分位数即可判断D. 【详解】对于选项A：对于独立性检验，随机变量的值越大， 则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，故选项A正确； 对于选项B：结合条件概率公式可知， 所以，所以，故选项B正确； 对于选项C：因为随机变量服从正态分布所以正态曲线关于对称， 又，所以， 因为，所以，故选项C正确； 对于选项D：将数据从小到大排列为2，3，4，5，6，7， 因为，所以这组数据的分位数为，故选项D错误； 故选：ABC. 10. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，若边上的中点为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理的边角变换与三角恒等变换可得；再利用余弦定理与三角形面积公式，结合基本不等式可得的最值与的最值；利用向量的线性运算与数量积的运算律可求得的最小值，从而得解. 【详解】对于A：因为， 由正弦定理得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以，即， 又，，则，，故A正确； 对于B：由余弦定理知，得， 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由B知， 则，故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D：因为边上的中点为，所以， 则 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. 无最小值，只有最大值为4 D. 的最小值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式性质、基本不等式及相关幂函数单调性判断各项正误即可. 【详解】由，则，又，即，同理，A对； 由，且，显然时，B错； 由上分析知：且，结合的单调性知：，C对； 由，当且仅当时等号成立，D对. 故选：ACD 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知单位向量的夹角为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入展开，结合数量积性质求解可得. 【详解】因为单位向量的夹角为，所以， 又，，所以， 即，解得. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】转化为导数恒成立，然后参变分离，利用导数求函数的值域即可得解. 【详解】， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知函数 的定义域为 ，，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】通过取，确定函数周期，再通过赋值即可求解. 【详解】令，所以或， 令， 所以当时，， 当时，， 令， 所以， 相减得， 所以，所以函数的一个周期为， 所以 所以当时，， 当时，. 故答案为：或 四、解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足：，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由可得， 又，所以， 则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义求证即可； （2）利用（1）的结论，可求得，利用分组求和的方法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 . 16. 已知分别为三个内角的对边，且，. （1）求； （2）若，试讨论当取不同值时，解的个数． 【答案】（1） （2）当时，解的个数为； 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 【解析】 【分析】（1）结合的值将边化角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得解； （2）由余弦定理可得与有关一元二次方程，结合根的判别式与根与系数的关系讨论该一元二次方程的正根的个数即可得解. 【小问1详解】 由，，则， 即有， 由，故，故有，即，则； 【小问2详解】 由余弦定理，结合、与， 可得与有关一元二次方程， ， 则当，即时，该方程无解，即此时解的个数为； 当，即时，有，此时有， 即此时解的个数为； 当，即时，设该方程有两个根、， 则，， 则当，即时，，则、， 故此时解的个数为； 当，即，则，则、中有且仅有一个为正， 故此时解的个数为； 综上所述，当时，解的个数为； 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 17. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 【答案】（1）亿人 （2）， 【解析】 【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出与的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论； （2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 设，则， 因为，，， 所以，， 所以，与的拟合函数关系式为 当时，， 则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人. 【小问2详解】 由题意知，所以，， ， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 18. 已知函数. （1）当时，函数的极值为10，求和的值； （2）设，若，对于任意的，都有恒成立，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出再检验即可即可； （2）转化为对于任意的，恒成立，令，求出的最大值可得答案. 【小问1详解】 ， 因为当时，函数的极值为10， 所以，解得， 当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取到极小值，符合题意， 所以，； 【小问2详解】 ， 若，对于任意的，都有恒成立， 即对于任意的，恒成立， 令，则， 对于在上单调递减， 所以在上的最小值为， 可得，所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为对于任意的，恒成立问题. 19. 已知数列 ，记集合 （1）若 ，当 ，即 时，写出集合 ; （2）若 ，是否存在 ，使得 ? 若存在，求出一组符合条件的 ; 若不存在，说明理由; （3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为： ，若 ，求的最大值． 【答案】（1） （2）不存在，理由：因为，所以. 根据等差数列求和公式，这里，，， 则. 假设存在和使得. 设，，则，且. 因为为奇数，，将分解因数，这些因数对的和都是偶数， 所以不存在这样的和，即不存在和使得. （3） 【解析】 【分析】（1）对于第一问，直接根据，按照的条件计算，并写出集合. （2）对于第二问，根据求出的表达式，然后假设存在和使得，通过分析表达式来判断是否存在这样的和. （3）对于第三问，同样根据求出的表达式，然后找出满足的最大值. 【小问1详解】 当，时，. 当，时，. 当，时，. 当，时，. 当，时，. 当，时，. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 且由题知，，且为一奇一偶. 能拆分为一奇一偶的乘积， 且由（2）知，， ， 到4100的所有偶数中除去2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096等的数外，其余的偶数都满足条件， ， 的最大值为2038. 【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高 2025 届高三第一学期期中考试 数学试题 一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个，则这2个数是孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则关于的方程的实根个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 若，则 C. 随机变量服从正态分布 ,若，则 D. 数据4，3，2，5，6，7的分位数为 4 10. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，若边上的中点为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. 无最小值，只有最大值为4 D. 的最小值为12 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知单位向量的夹角为，若，则_____． 13. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为_____． 14. 已知函数 的定义域为 ，，，则_____． 四、解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足：，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 已知分别为三个内角的对边，且，. （1）求； （2）若，试讨论当取不同值时，解的个数． 17. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 18. 已知函数. （1）当时，函数的极值为10，求和的值； （2）设，若，对于任意的，都有恒成立，求的最小值． 19. 已知数列 ，记集合 （1）若 ，当 ，即 时，写出集合 ; （2）若 ，是否存在 ，使得 ? 若存在，求出一组符合条件的 ; 若不存在，说明理由; （3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为： ，若 ，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $