专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 比例线段】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【易错必刷二 比例的性质】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知，且，求的值． 【易错必刷三 黄金分割】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 3．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【易错必刷四 平行线分线段成比例】1．（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 【易错必刷五 相似多边形】 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【易错必刷六 相似多边形的性质】 1．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【易错必刷七 相似三角形的判定】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【易错必刷八 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 3．（2022·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【易错必刷九 利用相似三角形测高】 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【易错必刷十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【易错必刷十一 相似三角形的判定与性质综合】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图：在中，点、分别在边、上，，如果，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 【易错必刷十二 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【易错必刷十三 证明三角形的对应线段成比例】 1．（2022九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【易错必刷十四 利用相似求坐标】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 2．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【易错必刷十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【易错必刷十六 相似三角形的动点问题】 1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 2．（23-24·四川广元·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【易错必刷十七 相似三角形的应用1】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高． 【易错必刷十八 相似三角形的应用2】 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【易错必刷十九 相似三角形的综合问题】 1．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 3．（23-24九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【易错必刷二十 位似图形】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【易错必刷二十一 求两个位似图形的相似比】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 【易错必刷二十二 求位似图形的对应坐标】 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 【易错必刷二十三 求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 比例线段】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段列出比例式即可求解，掌握比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 2．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段， （1）根据题意可设，由得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据比例中项的定义得到，解之可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 【易错必刷二 比例的性质】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解． 【详解】解：设， ， 原式． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，求代数式的值． 设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】解：∵， ∴设，，（）， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 【易错必刷三 黄金分割】 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【易错必刷四 平行线分线段成比例】 1．（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解∵，， ， ∵， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 根据题意求出，由平行线分线段成比例可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）首先求出，然后利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【易错必刷五 相似多边形】 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ． 【答案】 【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 【详解】设BG=x， 则BE=x， ∵BE=BC， ∴BC=x， 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比. 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【答案】16 【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形为中正方形， ∴，， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴， 四边形是矩形，， ， ， 矩形是正方形， 四边形是正方形， 正方形正方形， ∵AE：EC=2：1， ∴AE：AC=2：3， ， ， ∴正方形AFEG的面积为16． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键． 【易错必刷六 相似多边形的性质】 1．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 根据矩形与矩形相似，且矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得； 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 【易错必刷七 相似三角形的判定】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可． 【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【易错必刷八 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 3．（2022·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【易错必刷九 利用相似三角形测高】 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是． 故答案为：24． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 【易错必刷十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可解决问题，关键是掌握三角形重心的性质． 【详解】取中点M，连接， ∵点分别是的中点，与交于O， ∴点O是的重心， ∴C，O，M，共线， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据三角形的重心的性质解答即可． 【详解】 解：点G为的重心， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十一 相似三角形的判定与性质综合】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，再由平行四边形的性质得到，则可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图：在中，点、分别在边、上，，如果，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据、是公共角，可以证明，根据、可以求出，从而求出这两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为： ． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点M运动到的中点时，，此时。 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴要使，必须有， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴当点M运动到的中点时，，此时． 【易错必刷十二 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似比，熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似比为，与相似比为， ∴，， 即，， ∴与相似比为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由证明因为得出，再代入数值到，进行计算，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，因为，所以，再整理出，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：如图：过点D作， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十三 证明三角形的对应线段成比例】 1．（2022九年级下·全国·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 【易错必刷十四 利用相似求坐标】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    2．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 【易错必刷十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【易错必刷十六 相似三角形的动点问题】 1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 2．（23-24·四川广元·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：和是对应边时，， ， 即， ， 和是对应边时，， ， 即， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）根据勾股定理求出的值即可； （2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 【易错必刷十七 相似三角形的应用1】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 【详解】解：依题意，∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ， ， ，，， ， ， ∵， 树高为． 【易错必刷十八 相似三角形的应用2】 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．证明与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 又， ∴ 由相似三角形的性质得到：． 解得，． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：10． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 【易错必刷十九 相似三角形的综合问题】 1．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接BC′，根据旋转的性质和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接BC′， ∵矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝AD，AB′＝AB，B′C′∥AB， ∵B，D，C′三点在同一直线上， ∴△DB′C′∽△DAB， ∴， ∴， ∴AD2＝AB2﹣AB•AD， ∴AD＝AB（负值舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似的性质，辅助线的连接，对应边长成比例是本题的难点 3．（23-24九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 【易错必刷二十 位似图形】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 【易错必刷二十一 求两个位似图形的相似比】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案． 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与相似比为， ． 故选：A． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长∶四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 【答案】(1)画图见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． （3）利用割补法求解三角形的面积即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：由位似图形的性质可得：； （3）解：． 【易错必刷二十二 求位似图形的对应坐标】 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解． 【详解】解：∵已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把放大， ∴点B的对应点的坐标为：或 即，或． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则可证明得到，即点C为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵线段和线段关于原点位似， ∴， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，，． 【分析】本题主要考查平移，位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． 【详解】（1）解：如图，为所求图形；   ； （2）解：根据相似比可得，，，； 如图，为所求图形． 【易错必刷二十三 求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比． 【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵，， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是． 故选：D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比． 根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案． 【详解】解：，， ，， 以原点为位似中心放大后得到， ， 与的相似比是， 与的面积的比是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似变换，位似变换的性质等等，正确根据坐标变换方式找到对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到对应点的横纵坐标，进而描出，再顺次连接即可； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵与关于原点位似，且将放大为原来2倍得到， ∴与的位似比为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$