特训04 相似三角形的判定（初学者专练，二大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训04 相似三角形的判定（初学者专练，二大模块） 目录： 模块1：定理1和定理2证相似 模块2：定理2证相似；相似三角形的证明综合 模块1：定理1和定理2证相似 1．如图，相交于点．求证∶ 2．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 3．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 5．如图，在中，，于D． 求证：． 6．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 9．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 10．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 11．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 12．如图，与交于点，，，，，求证：． 13．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 14．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 15．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 17．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 18．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 19．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    20．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 21．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    22．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 24．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 模块2：定理2证相似；相似三角形的证明综合 26．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 27．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 28．如图，与相似吗？为什么？ 29．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 30．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 31．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A． B． C． D． 32．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 33．如图，已知．求证：．    34．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 35．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 36．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 37．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 38．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 39．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 41．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 相似三角形的判定（初学者专练，二大模块） 目录： 模块1：定理1和定理2证相似 模块2：定理2证相似；相似三角形的证明综合 模块1：定理1和定理2证相似 1．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【解析】证明∶， ， ． 2．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【解析】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 3．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据判断两个三角形相似． 【解析】证明：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得． 【解析】∵，∠B=90°， ∴． 又∵∠C=∠C， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 5．如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【解析】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 6．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 【答案】见解析 【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证． 【解析】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【解析】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 9．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解析】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 10．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可． 【解析】证明：在和中， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 11．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【答案】详见解析 【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 12．如图，与交于点，，，，，求证：． 【答案】见解析. 【分析】根据两边对应成比例，两三角形相似即可证明. 【解析】解：∵，， ∴， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题型，熟知两边对应成比例，两三角形相似的判定方法是解此题的关键. 13．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等． 【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证； （2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解． 【解析】解：（1）相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴； 不相似，理由如下： 因为虽然，但它们的夹角 与 不相等， 所以与不相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中线性质得，故，可进一步得. 【解析】证明：∵AD是的中线， ∴. ∵， ∴， 即， 又∵， ∴. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键. 15．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED．    【答案】证明见解析. 【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出，据此即可得证． 【解析】∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD， ∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40， ∴， ∴△ABC∽△AED． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 16．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 17．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得出，根据题意，等量代换得出，进而根据公共角，即可得证． 【解析】证明：四边形为菱形，为对角线， ． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【解析】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 19．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 20．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【解析】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 21．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 22．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可． 【解析】∵， ∴， A.若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B.添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C.添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，项符合题意； D.添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键． 23．如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【解析】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 24．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可． 【解析】∵，， ∴， 所以①符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以④符合题意，②不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， 所以③符合题意； ∵，， ∴， 所以⑤符合题意． 则符合题意的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 25．如图，在中，，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出答案． 【解析】解：，是边的中点， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 图中与相似的三角形共有3个：，，． 故选：B 模块2：定理2证相似；相似三角形的证明综合 26．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等． 【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 27．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）不相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴与不相似； （2）相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 28．如图，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据网格求出三角形的边长，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得出结论． 【解析】解：△ABC与△EFG相似，理由是： 设小正方形的边长为1，则AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝， ∵，， ∴， ∴△ABC∽△EFG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 29．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】D 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【解析】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 30．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键． 根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答． 【解析】解：设网格中每个小正方形的边长为1， ①中的三角形的各边长分别为2，，， ③中的三角形的各边长分别为，2，， ， 这两个三角形的三边对应成比例 ①中的三角形和③中的三角形相似， 故选C. 31．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【解析】解：∵小正方形的边长为1， ∴在中，， A．三边各为：3，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； B．三边各为：1，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； C．三边各为：1，，与中的三边对应成比例，故两三角形相似； D．三边各为：2，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似． 故选：C． 32．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【答案】．理由见解析． 【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案． 【解析】解：相似，理由如下： 在中，，由勾股定理得． 在中，，由勾股定理得． ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 33．如图，已知．求证：．    【答案】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 【解析】 证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 34．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，由直角边和斜边对应成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根据两组对边成比例且夹角相等，判定△ABC∽△A'B'C'. 【解析】证明：在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中， ∵， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴， 又， ∴∽． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，熟练掌握判定定理是解决此类问题的关键. 35．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】根据可得，则可证明∽，即可推出，再根据，则可证明∽． 【解析】解：∵，、分别为边、上的中线， ∴， ∴∽ ∴． 又∵， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 36．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【解析】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 37．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】（1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【解析】（1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 38．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为 4或20. 【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE； （2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式． 【解析】(1)证明：∵AD∥BC, ∴∠PAF=∠AEB. ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE. (2) 若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB. 如图，连接PE,DE, ∴PE∥AB. ∴四边形ABEP为矩形. ∴PA=EB=4，即x=4. 如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB. ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF. ∴PE=PA. ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点. ∵AE=， ∴EF=AE=. ∵， ∴PE=20，即x=10. ∴满足条件的x的值为4或10. 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 39．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定即可． 【解析】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确； （2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确； （3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确； （4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）错误； 故正确命题有（1）（2）（3）一共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 40．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”， 先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可． 【解析】解：，， ①添加，则，本项符合题意； ②添加，则，本项符合题意； ③添加；无法判断，本项不合题意； ④添加；则，本项符合题意； 故选：B． 41．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 【答案】A 【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD． 【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3， 即， 而∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∵， ∴， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$